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lunes, 21 de diciembre de 2009

Juegos de Azar : El Pase Inglés

El pase inglés es un conocido juego de azar que se juega con dos dados. El tirador lanza los dados sobre la mesa o paño de juego y suma el resultado obtenido en ambos dados.

Si sale un 7 o un 11 en el primer tiro, se está en presencia de una situación denominada "buena" y el tirador gana todas las apues­tas. Un 2, 3, 0 12, se llama "mala" o "barraca". En dicho caso el jugador pierde todas sus apuestas.

Cuando sale uno de estos números, se pagan las apuestas, el tirador retiene los dados, anun­cia su próxima apuesta y el juego continúa como antes.

Un 4, 5, 6, 8, 9, 0 10 en el primer tiro, se denomina "punto del tirador". Cuando el tirador saca uno de estos puntos, debe continuar tirando hasta que el juego esté establecido. Si nuevamente logra ese punto antes de sacar un 7, gana todas las apuestas, Si sacara un 7 antes de repetir su punto, las pierde.

El juego posee otras reglas específicas que en éste momento no desarrollaremos. Lo que nos interesa es establecer cuales son las probabilidades involucradas en éste juego.

Probabilidades en el Pase Inglés

Hay treinta y seis combinaciones posibles de dos dados. (Por cada una de las seis formas en que un dado puede aparecer, hay otras seis en que puede aparecer el segundo dado: 6X6=36.) Los resultados van desde 2 (1-1) a 12 (6-6).

A continuación enumeramos las distintas combinaciones en que se puede formar un número con un tiro de dos dados:
Combinaciones

2 se puede lograr de una sola forma: 1-1
3 se puede lograr de dos formas: 1-2 o 2-1
4 se puede lograr de tres formas: 1-3, 3-1 o 2-2
5 se puede lograr de cuatro formas: 1-4, 4-1, 2-3 o 3-2
6 se puede lograr de cinco formas: 1-5, 5-1, 2-4, 4-2 o 3-3
7 se puede lograr de seis formas: 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4 o 4-3
8 se puede lograr de cinco formas: 2-6, 6-2, 3-5, 5-3 o 4-4
9 se puede lograr de cuatro formas: 3-6, 6-3, 4-5 o 5-4
10 se puede lograr de tres formas: 4-6, 6-4 o 5-5
11 se puede lograr de dos formas: 5-6 o 6-5
12 se puede lograr de una forma: 6-6
Como se puede observar en este cuadro, el tirador tiene dos probabilidades sobre una de ganar en el primer tiro, pues tiene ocho formas de hacer un 7 o un 11, en oposición al total de cuatro combinaciones con que puede formar un 2, un 3 o un 12.

Sin embargo, hay dos probabilidades contra una de que el primer tiro no decida el juego en cualquiera de las dos formas, pues solo doce de los treinta y seis posibles resultados deciden el juego en el primer tiro, mientras que veinticuatro no lo hacen.

Las posibles formas para una apuesta se pueden determinar de acuerdo con el cuadro ya citado, tomando en cuenta el número de combinaciones en que se puede perder una apuesta con respecto al número en que puede ser ganada.

Por ejemplo, las probabilidades correctas en contra de hacer cada uno de los puntos se puede determinar, comparando el número de combinaciones para formar un 7 con el número de combinaciones para formar el punto:

A continuación un entretenido juego que consiste en tirar dos dados y mover un lugar el auto numerado con la suma de los dos resultados obtenidos. ¿Que autito ganará ésta carrera?:



Si tenemos en cuenta la tabla de probabilidades de la suma de los resultados de los dos dados, veremos que el autito que más chance tiene de ganar ésta carrera es el número 7, le siguen el 8 y el 6 con igual probabilidad y asi sucesivamente hasta el 12 y el 2.

Probabilidades: Cara o Cruz?

Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”. Veamos como la siguiente anécdota justifica esta descripción.

Dos estudiantes de Instituto intentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando una moneda. Si sale cara irán al cine, si sale cruz saldrán a tomar una gaseosa y si la moneda cae de canto, estudiarán.

La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal, tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas.

Pues bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?

Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de la probabilidades involucradas.

Supongamos por el momento que denotamos por p el valor numérico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz también debe tener asignado el valor p.

Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz sigue que 2p debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos plazca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es : 1/2 ; la probabilidad de que muestre cruz es : 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es:

Si analizamos detalladamente el ejemplo, podemos apreciar :



Un experimento aleatorio, lanzar una moneda al aire

Unos resultados puntuales, sale cara o sale cruz y no podemos tener la certeza de antemano de que sea cara o sea cruz.

Unas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados, que se basan en el sentido común y en nuestra experiencia previa.

La ley de los Grandes Números

Anteriormente hemos fijado la probabilidad de que salga cara o cruz en 1/2. Existe otra manera de calcular esta probabilidad. Esta manera consiste en realizar el experimento de lanzar muchas veces la moneda e ir anotando en cuantas de éstas oportunidades salió cara y en cuantas otras salió cruz.

La siguiente herramienta didáctica te puede ayudar a lanzar la moneda muchas veces de manera aleatoria:



Lanzando una cantidad de veces suficiente la moneda, veremos como el número de caras y de cruces se va igualando. Podemos deducir entonces que para un nº lo suficientemente grande la probabilidad de este evento es 1/2 (0,5)
 
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