Matemáticas en el Supermercado! - Problema de colas

Cuando vamos al supermercado y llega el momento de pagar: Cuantas veces nos hemos preguntado que será mejor: Ponernos en la cola con más gente pero que tienen pocos productos o por el contrario, pasar por la caja que cuya cola es menor, pero los compradores llevan más productos para pagar.

Ryan Sager, formula una solución muy sencilla a éste interrogante cotidino : la velocidad en las colas de los supermercados.

Ryan, despues de meditar un momento sobre el problema, llega a la conclusión de que las filas con poca gente y muchos productos son, por lo general, más veloces. El motivo es claro: lo que más tiempo consume es pagar. Los clientes tardan en hacerlo unos 48 segundos, mientras que las cajeras pasan cada producto en 2,8 segundos de media.

De esta forma, una cola de 6 personas con tres productos cada una tardará algo más de 5 minutos (306 segundos), mientras que una cola de 2 personas con 20 productos pasará por la caja en algo menos de 3 minutos y medio (208 segundos).

Según este razonamiento, las llamadas “cajas rápidas”, en las que suele haber muchos clientes con pocos artículos cada uno, al final pueden resultar más lentas. A no ser que tengan varias cajeras por cola, como ocurre en algunos hiper de grandes superficies.

Un día como hoy: Un 29 de Octubre nació el símbolo de la integral

En 1675 Gottfried Leibniz escribió el símbolo de la integral ∫ en un manuscrito, introduciendo esta notación en el cálculo, que hoy en día se sigue utilizando. El departamento de matemáticas de la Universidad de San Buenaventura en el estado de Nueva York celebra el Día Integral cada 29 de octubre en honor a Leibniz.

Biografía de Gottfried Leibniz

Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más, y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas."^[2] De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot, contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible. [leer toda su biografía en la Wikipedia]

El problema de Monty Hall

Imagina que estás en un concurso donde se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un Lamborghini Mutciélago y detrás de las otras hay cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces el presentador te pregunta: "¿No prefieres cambiar tu respuesta y escoger la nº2?".

¿Dónde es más probable que se encuentre el automóvil?

SOLUCION

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemáticos: Sea X:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.