Problemas Matematicos : Los sacos de monedas

En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas.

PREGUNTA: ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.

SOLUCION:

Problemas Matematicos : El matemático ignorante

En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabía multiplicar y dividir por 2.
- A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras.

Le propuse que multiplicara 75 por 38.
Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos:

- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?.
- No -le dije- es 37'5.
- De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así que no los pongo.

Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.
Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216 y 2432.
Al final tenía escrito:

Me dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha) con lo que quedó:

Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38+76+304+2432=2850, que es el resultado correcto. Probé con otros números y también funcionaba el método.

¿Sabrías dar una explicación matemática?. 

SOLUCION:

El problema de Diofanto

Sabemos muy poco acerca de la vidad el matamático Diofanto (muchas veces conocido como el "padre del álgebra") excepto que fué de alejandría y nació alrededor del año 250 DC.

Sin embargo, sobrevive un puzzle que describe longitud de la vida de Diofanto:

"En esta tumba yace Diofanto. Ah, que maravilla! Y la tumba dice científicamente el tiempo de su vida. Dios estipuló que sería un niño durante la sexta parte de su vida; Cuando se agregue un doceavo, sus mejillas crecerán barbas; El se procurará la luz del matrimonio luego de un séptimo, y al quinto año después de su matrimonio le será concedido un hijo. Ay de tí! tardemente concebido y miserable chico, cuando alcanzó la mitad de la edad de su padre, la fría tumba se lo llevó. Luego de consolar su luto con esta ciencia de los números durante cuatro años, él alcanzó el final de su vida."

En español más simple dice: lLa juventud de Diofanto duró 1/6 de su vida. Le creció su primera barba en el siguiente 1/12 de su vida. Al final del siguiente 1/7 de su vida Diofanto se casó. Cinco años después su hijo nació. Su hijo vivió exactamente la mitad de la vida de Diofanto. Diofanto murió cuatro años después de la muerte de su hijo.

Cuanto vivió Diofanto?

RESPUESTA:

Puzzle Matemático - Banda Alredeor de la Tierra

Puzzle: La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40,000 kilómetros, y alguien acaba de construir una banda metálica que dá la vuelta a la Tierra tocando el suelo en todos los lugares que atraviesa.

Vienes por la noche, y como una broma aumentas 10 metros a su longitud (un centésimo de kilómetro !)

Ahora es un cuatro-millonésimo mas largo, y está mágicamente sobre el suelo de todos los lugares que atraviesa

Cuanto se ha elevado ... podría una mosca, un conejo, o hasta un hombre pasar por debajo de ella?

SOLUCION:

Problemas: El peso de una baldosa y media

Si cada baldosa pesa lo que pesa media baldosa y 2 kilos, ¿cuánto pesa una baldosa y media?...

SOLUCION

X = 1/2.X + 2
X - 1/2.X = 2
1/2.X = 2
X = 4

Hasta aqui; Una baldosa pesa 4 Kg. Pero me interesa saber cuanto pesa una baldosa y media:

Es decir: X + 1/2.X = 4 + 1/2.4 = 4 + 2 = 6

Problemas con perímetros

Tenemos tres piezas de cartulina de forma rectangular. Si las coloco de la forma que indica la figura, obtengo un cuadrado que tiene 24 centímetros de perímetro.
Colocándolas de otra manera, sin superponerlas, obtengo un rectángulo. ¿Cuál sería el perímetro de ese rectángulo?

SOLUCION

Como la figura que se formó es un cuadrado y su períetro es 24 cm, entonces cada lado (largo de los rectángulos) mide 6m.
La única forma de disponer dichos rectángulos y que el resultado sea otro rectángulo es ponerlos a lo largo.
Además tambien conocemos la medida del lado restante de los rectangulos que es de 2 cm, ya que 6/3 = 2
Finalmente solo resta obtener el perímetro del nuevo rectángulo. 6 X 3 X 2 + 2 X 2 = 40

El problema de la Bella Durmiente

Los filósofos y matemáticos a menudo evidencian una habilidad especial para complicar las cosas. Un buen ejemplo de esto es El problema de la Bella Durmiente, una vuelta de tuerca que convierte un cuento para niños en una pesadilla para adultos. Sigue leyendo, y averigua por qué las brujas no deberían tener monedas, los príncipes ya no besan como antes y -sobre todo- cómo un par de cerebritos pueden encontrar una paradoja dentro de un cuento para niños. Sin desperdicio.

Todos conocemos la clásica historia de la Bella Durmiente, que se hiere con una rueca embrujada y cae en un profundo sueño del que solo el beso de un príncipe la podrá sacar. Seguro que el argumento te resulta familiar, porque Disney ha hecho una fortuna con él. Pero un filosofo llamado Adam Elga, famoso por haber creado varios puzles difíciles de resolver, basándose en el trabajo de Arnold Zuboff (publicado como “One Self: The Logic of Experience”), le ha dado una vuelta de tuerca para convertirlo en un problema lógico de difícil solución. Supongamos que es domingo, y que la Bella Durmiente se pincha el dedo con la rueca. En ese instante, se hace presente la bruja y -antes que la muchacha se duerma- arroja una moneda al aire. Si sale cara, la Bella Durmiente se despertará de la maldición el lunes y ahí se acabará la historia, sin necesidad de príncipes salvadores y sin paradojas de ninguna clase. Pero si sale sello, también se despertará el lunes, aunque solo para volver a dormirse hasta el martes. Cuando despierte el martes estará libre de la maldición pero tendrá una pequeña secuela: gracias a las malas artes de la bruja, no se acordará si se despertó o no el lunes.



Puestas así las cosas, y con el Príncipe ausente del relato, nuestra Bella Durmiente se despierta sin saber si es lunes o martes. Dado que si despertó el lunes dicho evento fue borrado de su mente por la bruja, no tiene forma de saber en qué día se encuentra. Adam Elga asume que La Bella Durmiente es perfectamente racional y que el domingo, antes de quedar dormida, se ha enterado del plan elaborado por la bruja. Con estos datos, la niña puede asignar probabilidades al hecho de que sea lunes y al hecho de que sea martes. O, dicho de otro modo, puede asignar probabilidades al hecho de que la moneda cayera en cara o que cayera en sello. La cuestión a resolver es: ¿qué probabilidad subjetiva debería otorgarle ella a la hipótesis de que la moneda cayó en cara? Existen dos formas de encarar el problema.

La primera asume que como el domingo la Bella Durmiente sabía que la moneda no estaba trucada, tenía un 50% de probabilidades que cayera en cara. Dado que al ser despertada el lunes no recibe ningún dato adicional que pueda ayudarla a deducir su situación (ya que su memoria es borrada), la probabilidad es de un 50% de que sea lunes, y de un 50% de que sea martes. ¿Parece lógico, verdad? Pero antes de festejar, veamos la segunda forma en que se puede encarar este problema.

Supongamos que el experimento de la bruja se lleva a cabo un elevado número de veces. Al igual que antes, como la moneda no esta trucada, la mitad de las veces caerá cara y la otra mitad caerá en sello. Sabemos que la Bella Durmiente se despierta una vez tras salir “cara” y dos veces tras salir “sello”. Como ambas caras de la moneda tienen las mismas probabilidades de ocurrir, todos los despertares de la muchacha tienen también la misma probabilidad. Si la bruja hace 100 veces su truco, la Bella Durmiente despertaría 50 veces en lunes (luego de salir cara), 50 veces en lunes (tras salir sello) y 50 veces en martes tras sello. Si cada vez se le pregunta a la niña “¿Qué día es hoy?”, sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras sello que tras cara. Las probabilidades que asignará a “sello” serán 66,66% y a “cara” sólo el 33,33%.

¿Confundido? No te preocupes, no eres el único. ¿Cuál es la respuesta correcta? Adam Elga sostiene que la segunda situación es la correcta, y que existe un 33,33% de posibilidades de que la Bella Durmiente despierte el martes tras haber salido cara. David Lewis, otro experto en temas de lógica, piensa que la primera respuesta es la correcta, y que al arrojar una moneda al aire no hay otra alternativa que asignar un 50% de probabilidades a cada posible resultado.

Visto en : Maldita ciencia

El problema de Monty Hall

Imagina que estás en un concurso donde se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un Lamborghini Mutciélago y detrás de las otras hay cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces el presentador te pregunta: "¿No prefieres cambiar tu respuesta y escoger la nº2?".

¿Dónde es más probable que se encuentre el automóvil?

SOLUCION

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemáticos: Sea X:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

Problemas matemáticos: Caminando alrededor de la tierra.

Un hombre de 1,80 m. de estatura camina sobre el Ecuador y da así toda la vuelta a la Tierra.

Pregunta: ¿qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies?. ¿Y si lo hace sobre el ecuador de la Luna?.

SOLUCION

Longitud cabeza = 2 . PI . (R + 1,80)
Longitud pies = 2 . PI . R

Diferencia entre las longitudes = 2 . PI . 1,80 = 11,31 metros

Observación: Dando la vuelta a cualquier esfera, la respuesta es la misma.

Curiosidades Matemáticas : La Herencia de los Camellos

Un jefe árabe dejó en herencia 17 camellos para sus tres hijos, de modo que tenían que repartírselos del siguiente modo:

La mitad para el mayor de los tres hijos.

La tercera parte para el mediano.

La novena parte para el más pequeño de los tres.

Ante la imposibilidad de hacer el reparto de los camellos, acudieron al Cadí. Se trataba de un hombre justo, generoso y un buen matemático.

¿Cómo afrontó el Cadí la situación?

Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el total de camellos a repartir. Así al mayor de los tres hermanos le correspondió 9 camellos, al mediano, 6 y al pequeño 2. Pero con esto sobró 1 camello, que naturalmente devolvieron al Cadí llenos de agradecimiento y admiración por su sabiduría.

Pero... ¿Como es posible?

Este curioso resultado proviene de ser la suma: 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18
menor que la unidad. De modo que el reparto de los 17 camellos entre los tres herederos no se habría hecho por completo; hubiera sobrado 1/18 de 17 camellos.
Habiendo aumentado el dividiento a 18, el sobrante resultó entonces 1/18 de 18 camellos.

Idea extraída de "Hombre que Calculaba" de Malba Tahan.