Problemas Matematicos : Los sacos de monedas

En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas.

PREGUNTA: ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.

SOLUCION:

Criptogramas : Encuentra el valor...

Intenta determinar el valor de cada una de las letras:

   D O S
   D O S
   D O S
+ D O S
----------
O C H O

 SOLUCION:

Juegos matemáticos : Descomponer Números

Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas.
Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?.

Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13

Prueba tu habilidad con los números:
a) Escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves
b) Escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.
Ejemplo: 100=111-11.
c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.

SOLUCION:

Juguemos a los detectives

En mi vida como detective, jamás me había encontrado un caso como este. ¿Me ayudas a resolverlo?...

Tras llegar a casa después de un duro día de trabajo, el agente de policía Paul Sugar, dispuso la cena y el material que no había terminado de leer en la oficina al lado del ordenador. No quiso empezar a trabajar sin evocar una de sus canciones favoritas como cada noche: Obladi Oblada. Inconfundible.

Paul turna su atención entre la página web que está viendo y el recuerdo de su recién fallecido padre mientras le regalaba ese gran disco que tanto quería: "Hijo mío, ya eres un hombrecito. Con 10 años y dejas de ser un niño; es bueno que te regale esa música que tanto deseas...". Lo cierto es que parece increíble, su décimo cumpleaños fue el mismo día que la fecha del lanzamiento de ese disco. Muchas veces aún se pregunta como pudo su progenitor hacerse con ese LP ni bien salió a la venta; "debe haber amanecido en la puerta de la casa de música" reflexiona Mr. Sugar.

Se centra nuevamente en la pantalla. Como buen detective que es, siempre le gustaron los problemas de lógica e ingenio y sospechaba que esa página podía llegar a resultarle más que interesante. Mira detenidamente los links ¿quién será este? se pregunta mientras dirige el ratón hacía el link y hace click. Lee una línea y ve esa frase, la misma que él mismo usa como presentación para cada nuevo cliente. Lo malo de la vida como jefe de policía es que no son solo amigos lo que se cosechan, sino también un nutrido grupo de enemigos.

Observa y analiza la página detenidamente. Pronto descubre una fuente de letra que tiene otro color distinto a las demás "Uhmm... ¿Será un enlace?", se pregunta. Para averiguarlo hace click en el vínculo. Para su sorpresa y alivio de su ego, el enlace lleva a una nueva web en la que se lee lo siguiente:

"Si Usted ha llegado hasta aqui es porque es tan inteligente como cree. Pero le aviso que no le agradara haber sospechado la existencia de este mensaje.
Usted ya me conoce, y tal vez sea tarde cuando descubra quien soy.

¿Continúa en su poder ese viejo disco que siempre escuchaba? Al respecto, ayer se cumplió otro aniversario, y me acordé de Usted.

Por eso hoy decidí instalar aqui este mensaje, aunque por lo que me costó conectarme con este sitio, se ve que he elegido la peor época para ello, el peor día y el peor horario. En este momento Usted debe estar por acostarse, y yo todavia no cene.

Cuando lo haga, prometo brindar a su salud en esta primaveral noche. ¿Hace frio por alli? ¿Observó que nuestros respectivos compatriotas estan entre los que mas visitan este sitio?

Y ahora vamos a lo nuestro:

A PARTIR DE ESTE MOMENTO, CUANDO TRANSCURRAN EXACTAMENTE TANTAS SEMANAS COMO AÑOS USTED TENIA AL RECIBIR ESE DISCO, VOY A ASESINARLO.

Un viejo enemigo que no olvida."

Paul terminó de leer el mensaje y supo que no era mentira. La amenaza era completamente seria. No apartó la mirada del ordenador. No dejaba de pensar y darle vueltas a quién podría ser su agresor, pero tan solo le venían a la cabeza un puñado de sospechosos y lo cierto es que ninguno le convencía del todo.

Lee y vuelve a leer el mensaje, una vez tras otra para intentar descifrar las fechas. Da a la fecha de retroceso y vuelve a la web inicial a buscar más indicios. En ese momento tiene una corazonada: hace clic en un link, lo mira con atención y parece que todo empieza a aclararse. Cuenta las semanas en su calendario de mesa y entiende en ese momento que la amenaza se cumplirá esa misma noche.

Recuerda la frase que había leído en la amenaza: "en este momento Usted debe estar por acostarse". La sentencia se cumpliría de un momento a otro. Para su sorpresa (y la satisfacción de su ego), en ese momento confirma que sus deducciones son ciertas al notar el cañón del frío revólver que se apoya en un lado de su cuello. Antes de cerrar los ojos para siempre, tiene tiempo de pensar una cosa más: "al menos podré preguntarle a mi padre cómo lo hizo para conseguir ese disco...".

Y ahora las preguntas:

¿En qué fecha el asesino instaló la amenaza en la web?
¿Cuándo fue asesinado el policía Paul Sugar?
¿A qué edad fue asesinado Mr. Sugar.?
¿De qué nacionalidad era cada uno?

*SOLUCIÓN*

Mide tu ingenio contra Megamind

Reta a Megamind en su propio terreno demostrándole que eres más listo que nadie gracias a estos cuatro juegos de habilidad mental. En Test de genio deberás crear el camino correcto, a base de tuberías, para que la bola llegue del principio al final sin perderse. Cuantos más puntos recojas, mejor. En Sudoku tendrás que resolver el clásico rompecabezas, en el que no puede repetirse número alguno en la misma fila, columna o cuadrado. En Encuentra la Megadiferencia aparecerán tres personajes durante unos breves segundos, y luego volverán a salir... pero uno de ellos habrá cambiado. ¿Cuál? Finalmente, en Mega Match deberás formar grupos de tres o más cubos iguales para eliminarlos y sumar puntos.

Lógica, matemáticas, memoria y rapidez mental. ¿Estás listo para demostrar quién es el más listo? ¡A jugar!

Juegos Matemáticos: Numbers

El objetivo del juego es clickar sobre los números que hagan la suma que piden al lado derecho antes que se termine el tiempo.

Un Juego de Ingenio

Planarity es un juego de lógica e ingenio. El juego consiste en organizar los vértices de manera que las líneas no queden superpuestas. Los dos primeros niveles son un poco menos tediosos, a partir del tercer nivel debes encontrar una orma lógica de mover los puntos ya que de lo contrario puedes pasarte algunas horas intentando resolverlo.
Fuente : Planarity

Puedes jugar planarity desde aqui:

Calculum: Un juego novedoso!

Calculum es un juego matemático muy divertido, ya seas que prefieras jugarlo solo o con otros oponentes. Se trata de un juego similar al Screbbel pero con números en lugar de letras y con operaciones matemáticas en vez de palabras.

Algunas escuelas, están utilizando Calculum para motivar a los alumnos a desarrollar las actividades mentales con númeos. Este novedoso juego se puede bajar desde el enlace: Calculum
Es necesario estar registrado en el foro para poder bajar el juego.

El problema de Monty Hall

Imagina que estás en un concurso donde se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un Lamborghini Mutciélago y detrás de las otras hay cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces el presentador te pregunta: "¿No prefieres cambiar tu respuesta y escoger la nº2?".

¿Dónde es más probable que se encuentre el automóvil?

SOLUCION

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemáticos: Sea X:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

Una curiosidad de los polígonos!

"Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados". Así comienza Wikipedia su artículo en Español donde también se puede leer que un triángulo (3 lados), un pentágono (5 lados), un pentacontágono (50 lados) y un megágono (1 millón de lados) son igualmente polígonos.

Bueno, pues Roger Alsing escogió 50 de esas figuras, 50 polígonos semitransparentes, para ser más exactos, y dejó que un programa creado por él mismo los cambiara de tamaño, de forma y de color, superponiéndolos entre sí y comparándolos con una figura original a la cual debían parecerse. Si no era el caso, pues volvía a cambiar (mutar) las características de los polígonos simulando una evolución y, bueno, ¡adivinen qué obtuvo al final! Véanlo ustedes mismos:

(Dé click en la imagen para ampliarla)
Increíble, ¿verdad?

Roger Alsing no sólo nos muestra en su blog estos resultados de su programa al pintar a la famosísima Mona Lisa sino que explica por qué se interesó en el problema, ofrece el código del programa, enseña otras imágenes que obtuvo en una galería y se sigue debatiendo en su blog con los lectores para ponerle nombre a la criatura (algunos dicen que es un tipo de programa, otros que otro, y yo, que doy clases de ellos, pues también les enseñaré a mis alumnos estas maravillas de las metaheurísticas).

Los dejo con otra obra de arte que Roger Alsing obtuvo con su programa (a la izquierda está el original y a la derecha la que pinta el programa):

Acertijos: El problema del Reloj

Como mi reloj atrasa, el martes a las 16:50 en punto lo puse en hora y el jueves a la hora exacta del medio día marcaba 11:53:00. ¿Cuánto atrasa por día?...


SOLUCION

Desde el martes a las 16: 50 hasta el jueves a las 12:00, han pasado 43:10 horas
43:10 horas = 2590 minutos
En éste tiempo el reloj se ha retrasado 7 minutos.
24 horas equivalen a 1440 min.
Por una regla de tres simples, en 24 horas el reloj retrasa 3,89 minutos

Acertijos Matemáticos : Dos 3 y dos 8

Usando los numeros 3 , 3 , 8 y 8 y con las operaciones basicas ( suma , resta, multiplicacion y division) consigue como resultado 24

Nota : no hay trucos , hay que usar el 3 y el 8 dos veces ( no vale 3 x 8) , ningun numero más , no hay otras operaciones y no se pueden unir numeros ( por ejemplo 38 ).

Tiene una solucion ( no sé si es unica) muy ingeniosa y matematica.

SOLUCION

(8/3-(8/3))

Kruskal ¿magia o matememáticas?

A continuación vas a ser todos vosotros partícipes de mis poderes mentales. En primer lugar elegid una palabra de entre las que componen la primera frase de esta entrada y poned el cursor encima. Contad el número de letras que tenga esa palabra y ahora avanzad tantas palabras como número hayáis obtenido. Por ejemplo, si elegís como palabra inicial "vais", que tiene cuatro letras, entonces la siguiente palabra a la que llegaréis será "vosotros". Volved a realizar el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar al final del primer párrafo, o lo más cerca del final que podáis llegar sin pasar al segundo. ¿Lo habéis hecho ya? Entonces estaréis justo AQUÍ.

Como dirían Trancas y Barrancas: ¡Brujeríaaaaaaaaa! Si no te lo crees, elige otra palabra y vuelve a realizar el proceso. ¿Dónde llegas? ¡Al mismo sitio! y lo que es peor, ¡por el mismo camino! Elijas la palabra que elijas, tarde o tenprano vas a seguir el camino de palabras en cursiva para llegar, irremediablemente, a la palabra final del primer párrafo.

En realidad, elijas el párrafo que elijas, de este artículo, blog, o de donde sea, si realizas este mismo proceso, siempre llegarás a la misma palabra final, que, eso sí, no siempre será la última del párrafo, pero da igual la palabra en la que comiences, que la del final (casi) siempre será la misma.

Como bien podréis imaginar, esto no es ni magia, ni brujería, ni poderes para-anormales. Se trata, como bien dijo Steffen Rohde2, de un lema matemático, o mejor dicho, un principio probabilístico debido al matemático y físico estadounidense Martin D. Kruskal.

El truco consiste en que, como a lo mejor ya te has dado cuenta, cuando 2 series de este tipo coinciden en una palabra, a partir de ahí, las series son la misma. La cuestión es, pues, saber si tarde o temprano, todas las posibles series convergen (no en el sentido de serie matemática) en una misma palabra. La respuesta es que no tiene porqué. Pero la probabilidad de encontrar una palabra inicial que haga que la serie encontrada sea rara (es decir, que no encuentre a otra serie) tiende a cero a medida que el número total de palabras del párrafo tiende a infinito. Es decir, que mientras más grande sea el párrafo, más difícil será que seamos capaces de encontrar una palabra que haga que nuestro juego falle.

En realidad este truco con el párrafos y letras se conoce desde hace mucho tiempo en el mundo de la cartomagia o magia con cartas como La Cuenta Kruskal. Basta con asignar a cada carta su valor numérico (las figuras, también), poner todas las cartas en fila (o en forma de tabla, da igual), elegir una carta de inicio e ir avanzando tantas cartas como su valor marque, y así sucesivamente. En una baraja francesa (52 cartas) en la que se le asigna a la J el valor 11, a la Q el 12 y a la K el 13, la probabilidad de fallo es de, aproximadamente, 33%; sin embargo si asignamos a todas las figuras el valor 10, entonces la probabilidad de fallo se reduce al 29%; y, finalmente, si asignamos el valor 5 a cada figura, la probabilidad de fallo es de apenas un 16% (cf. referencia 3). Por cierto, que la probabilidad de fallo es, en realidad, la probabilidad de que se coloquen las cartas de tal forma, que sea posible encontrar al menos 1 carta inicial que no llegue a la carta final típica. Es decir, que en el primero de los casos, en 1 de cada 3 formas de colocar las cartas es posible encontrar un inicio que haga que el truco falle, mientras que en las otras 2 de cada 3, todas las cartas te llevarán irremediablemente al mismo final: tu Destino está escrito.

Como podréis comprobar, mientras más pequeños sean los valores numéricos, parece que más fácil será que el truco funcione, así que ya sabéis, o bien usad cartas de valores pequeños, o bien utilizad fragmentos de texto que contengan pocas palabras largas. Afortunadamente, parece que esto es mucho más sencillo.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Puedes encontrar una versión interactiva de este truco en la web Proceedings of the Organics Mathematics Workshop, haciendo que todas las figuras tengan valor 1.

Extraído de : Eliatron

Juego de sumas

El siguiente es un juego matemático muy entretenido, parecido al sudoku, que consiste en colocar los números de la izquierda en la cuadrícula hasta hacer desaparecer todos los números que conforman la misma. Este tipo de juegos suelen resultar muy útiles para entrenar nuestra mente en operaciones matemáticas básicas; En éste caso particular, la Suma de números.

Reglas del Juego

Para hacer desaparecer éstos números debemos seguir un procedimiento bastante simples. El número que colocamos debe ser igual a a la suma exacta de los números colindantes y si la suma fuera de dos dígitos el número colocado deberá ser igual al segundo dígito de la misma.

Por ejemplo, si debemos colocar un 8, una posible solución puede ser, ubicarlo colindante a los números 1, 3 y 4, como lo muestra la imágen de la izquierda o también ponerlo al lado de los números 6, 4 y 8 cuya suma es 18, entre otras tantas combinaciones posibles.

El cero puede ser colocado al lado de los números 3, 2 y 5 que dan 10, o al lado de otros números cuya suma sea igual a 10, 20, 30,... Ya que terminan en 0.

El juego de la Adivina

Descripción del juego:

El juego de la adivina o maga, consiste básicamente en un tablero con casilleros enumerados del 0 al 99. A cada número le corresponde una figura distinta. Al presentarse el juego, se le pedirá al jugador que piense un número de dos cifras y posteriormente le reste la suma de los dos dígitos pensados. Así; Si el jugador pensó el número 81 deberá realizar mentalmente la cuenta : 81 - ( 8+1) = 72. Se le pedirá al jugador que busque en el tablero el símbolo asociado a dicho número y para sorpresa de todos los presentes, el símbolo será "adivinado" como por arte de magia. De hecho, cualquiera que desconozca de los elementos matemáticos empleados en éste juego, creerá efectivamente que se trata de magia o algún tipo de energía desconocida que actúa sobre el jugador induciéndolo a pensar un número determinado. Afortunadamente, podemos explicar el juego con una breve demostración matemática que se expondrá a continuación.

Vista previa del juego:

Hipótesis:

Si observamos la segunda diagonal del tablero veremos que está formada por todos los múltiplos de 9. (9, 18, 27, ... 90); Además, en todos los casilleros de ésta diagonal, con excepción del 90, aparece dibujado el mismo símbolo. Incluso, cada vez que repetimos el juego, éstos símbolos cambian por otro distinto, pero siempre, iguales entre si en ésta diagonal. No es casualidad, entonces, que el símbolo adivinado posteriormente pertenezca a ésta diagonal. Intuitivamente, podríamos estar postulando que el símbolo adivinado siempre acompaña a un múltiplo de 9.

Pero vayamos a la demostración del problema. ¿Como es posible que se prediga el resultado del símbolo de forma arbitraria? Esto es posible, gracias a la "magia" de los números.

Todo número de dos dígitos puede expresarse de la siguiente manera: a X 10 + b X 1 con a y b pertenecientes a la familia de los enteros. Así; el 45 se puede escribir matemáticamente como: 4 X 10 + 5 X 1

Ahora bien; Considerando el postulado anterior, podríamos probar que el número que elegimos al azar menos la suma de sus dígitos es siempre un múltiplo de nueve y con ésto demostraríamos que el juego es solo un artilugio matemático y no un hecho inexplicable.

Demostración:

Utilizando la notación descripta en el párrafo anterior y siguiendo el enunciado del problema, escribimos la cuenta de la siguiente manera:

Número elegido menos la suma de sus dígitos: a X 10 + b X 1 - (a+b)

Restaría probar que ésta expresión es siempre un múltiplo de nueve; Es decir es de la forma 9 X p con p perteneciente a los enteros. Trabajando entonces sobre la primera expresión obtendremos:

a X 10 + b X 1 - (a+b) = 10 a + b - a - b = 10 a - a = 9 a = 9 X a

Y como a y p son ambos enteros, deducimos que la expresión es siempre un múltiplo de 9 y además encontramos otra curiosa relación: que siempre "a" es igual a "p".

Pero... ¿Que significa éste último descubrimiento? Que para cualquier número que elijamos de dos cifras, se cumplirá que : El primer dígito de éste número multiplicado por 9 nos dará el número del casillero resultante al igual que si realizaramos la resta. (Este resultado es muy sencillo de demostrar pero se dajará la demostración para otro momento).

Enlace para descargar el juego de la Adivina

(El archivo es un programa realizado en Power Point) Bajar el archivo, ejecutar y a jugar!