Sabias que:
111.111.111 X 111.111.111 = 12345678987654321
lunes, 10 de mayo de 2010
Curiosidades matemáticas: Multiplicando por 1
Todo sobre los Cuadrados Mágicos
Las siguientes actividades están pensadas para estudiantes a partir de tercer grado del colegio primario, de acuerdo a la respuesta que se vaya obteniendo se puede ir avanzando en los distintos grados de dificultad propuestos.
El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar en los niños los siguientes conceptos y habilidades:
El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar en los niños los siguientes conceptos y habilidades:
El concepto de orden en los números naturales
Practicar las operaciones aritméticas básicas
Establecer relaciones numéricas
Determinar y crear patrones
Desarrollar estrategias para la resolución de problemas
Generalizar
Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento
Que es un cuadrado mágico?
Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma.
Cuales son los números que se deben acomodar en el cuadrado mágico?
Si el cuadrado es de 3 x 3, entonces tendrá 9 casillas
y los números que se acomodan en él
son todos los números del 1 al 9
y los números que se acomodan en él
son todos los números del 1 al 9
Si el cuadrado es de 4 x 4, entonces tendrá 16 casillas
y los números que se acomodan en él son del 1 al 16
En general, si el cuadrado es de n x n, entonces tendrá n cuadrada casillas
y los números que acomodaremos en él serán del 1 a n².
y los números que acomodaremos en él serán del 1 a n².
Propiedades de los Cuadrados Mágicos
El orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Así un cuadrado de 3 x 3 se dice que es de orden 3.
Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica.
Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:
a . Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar
cualquier renglón o columna o diagonal.
b . Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números
que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste.
Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3
los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
c . Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico
es acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar
en su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar
los números de cualquiera de las diagonales; el resultado
será la constante mágica de ese cuadrado.
d . En general la fórmula para encontrar la constante mágica
de un cuadrado mágico de orden n es:
| n ( n² + 1 ) ___________ 2 | n³ + n ___________ 2 |
Esto quiere decir que:
En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodar
todos los números del 1 al 9 de manera
que la constante mágica sea 15.
En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodar
todos los números del 1 al 16 de manera
que la constante mágica sea 34.
En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodar
todos los números del 1 al 25 de manera
que la constante mágica sea 65.
Y así sucesivamente.
ACTIVIDADES
Para que a los niños les sea más fácil trabajar se pueden imprimir las siguientes figuras, pedirles que las recorten y que vayan colocando los números sobre la cuadrícula. También pueden resolverse las actividades dibujando los cuadrados mágicos.
|
En todas las actividades que se proponen a continuación es importante pedir a los estudiantes que comparen sus soluciones:
¿Todas son iguales?
Si no son iguales:
¿En qué se parecen? ¿En qué son distintas?
¿Hay alguna manera especial de acomodar los números
para que el cuadrado sea mágico?
Hay varias maneras de transformar un cuadrado mágico en otro.
Aquí te mostramos dos de ellas...
Primera forma:
1. Toma el cuadrado mágico chino "lo-shu".
2. Piensa en el número que tú quieras.
3. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplícalo con cada uno de los números del cuadrado original, acomodando los resultados en los mismos lugares.
El cuadrado que queda también es mágico.
E j e m p l o s
a
cuadrado "lo-shu" |
Se multiplica cada número del original por 3 | ||||||||||||||||||
b
cuadrado "lo-shu" |
A cada número del cuadro original se le resta 5 | ||||||||||||||||||
| c
cuadrado "lo-shu" |
A cada número del cuadro original se le suma 6 |
Actividades a partir de cuarto de primaria:
- Transforma el cuadrado mágico "lo-shu" en los cuadrados mágicos que tú quieras.
- ¿Cuál es la constante mágica en cada uno de los cuadrados nuevos?
- ¿Funciona este método con fracciones o con decimales?
Segunda forma:
1. Piensa en un número cualquiera.
2. Escríbelo en la parte superior izquierda de una hoja.
3. Ahora piensa en dos números más que sean distintos. Estos números se irán sumando al número que tenías escrito en la hoja, uno de manera horizontal y el otro de manera vertical hasta obtener nueve números distintos.
4. Haz una lista con estos números ordenándolos de menor a mayor.
5. Escribe el cuadrado mágico "lo-shu" y sustituye sus números con los nuevos de la siguiente forma: el primero de la lista en el lugar del 1, el segundo en el lugar del 2, el tercero en el lugar del 3 y así sucesivamente hasta que completes el nuevo cuadrado.
El cuadrado que queda también es mágico.
E j e m p l o
1. y 2. 7
3.
| 7 | +2  | 9 | +2 | 11 |
| +5  | | | | |
| 12 | | 14 | | 16 |
| +5 | | | | |
| 17 | | 19 | | 21 |
4. 7, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21
5.
|
|
Este cuadrado mágico fue inventado por Benjamín Franklin y tiene muchísimas propiedades:
- Cada renglón suma 260
- Cada columna suma 260
- La primera mitad de cualquier renglón suma 130
- La segunda mitad de cualquier renglón suma 130
- La primera mitad de cada columna suma 130
- La segunda mitad de cada columna suma 130
- Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260
- La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130
- Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro número de la diagonal respectiva que baja suman 260
¿Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico?
Este es un cuadrado mágico chino de 6 x 6 que fue inventado hace 400 años.
Intenta construir otro cuadrado mágico de 6 x 6
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
jueves, 1 de abril de 2010
El problema de la Bella Durmiente
Los filósofos y matemáticos a menudo evidencian una habilidad especial para complicar las cosas. Un buen ejemplo de esto es El problema de la Bella Durmiente, una vuelta de tuerca que convierte un cuento para niños en una pesadilla para adultos. Sigue leyendo, y averigua por qué las brujas no deberían tener monedas, los príncipes ya no besan como antes y -sobre todo- cómo un par de cerebritos pueden encontrar una paradoja dentro de un cuento para niños. Sin desperdicio.
Todos conocemos la clásica historia de la Bella Durmiente, que se hiere con una rueca embrujada y cae en un profundo sueño del que solo el beso de un príncipe la podrá sacar. Seguro que el argumento te resulta familiar, porque Disney ha hecho una fortuna con él. Pero un filosofo llamado Adam Elga, famoso por haber creado varios puzles difíciles de resolver, basándose en el trabajo de Arnold Zuboff (publicado como “One Self: The Logic of Experience”), le ha dado una vuelta de tuerca para convertirlo en un problema lógico de difícil solución. Supongamos que es domingo, y que la Bella Durmiente se pincha el dedo con la rueca. En ese instante, se hace presente la bruja y -antes que la muchacha se duerma- arroja una moneda al aire. Si sale cara, la Bella Durmiente se despertará de la maldición el lunes y ahí se acabará la historia, sin necesidad de príncipes salvadores y sin paradojas de ninguna clase. Pero si sale sello, también se despertará el lunes, aunque solo para volver a dormirse hasta el martes. Cuando despierte el martes estará libre de la maldición pero tendrá una pequeña secuela: gracias a las malas artes de la bruja, no se acordará si se despertó o no el lunes.
Puestas así las cosas, y con el Príncipe ausente del relato, nuestra Bella Durmiente se despierta sin saber si es lunes o martes. Dado que si despertó el lunes dicho evento fue borrado de su mente por la bruja, no tiene forma de saber en qué día se encuentra. Adam Elga asume que La Bella Durmiente es perfectamente racional y que el domingo, antes de quedar dormida, se ha enterado del plan elaborado por la bruja. Con estos datos, la niña puede asignar probabilidades al hecho de que sea lunes y al hecho de que sea martes. O, dicho de otro modo, puede asignar probabilidades al hecho de que la moneda cayera en cara o que cayera en sello. La cuestión a resolver es: ¿qué probabilidad subjetiva debería otorgarle ella a la hipótesis de que la moneda cayó en cara? Existen dos formas de encarar el problema.
La primera asume que como el domingo la Bella Durmiente sabía que la moneda no estaba trucada, tenía un 50% de probabilidades que cayera en cara. Dado que al ser despertada el lunes no recibe ningún dato adicional que pueda ayudarla a deducir su situación (ya que su memoria es borrada), la probabilidad es de un 50% de que sea lunes, y de un 50% de que sea martes. ¿Parece lógico, verdad? Pero antes de festejar, veamos la segunda forma en que se puede encarar este problema.
Supongamos que el experimento de la bruja se lleva a cabo un elevado número de veces. Al igual que antes, como la moneda no esta trucada, la mitad de las veces caerá cara y la otra mitad caerá en sello. Sabemos que la Bella Durmiente se despierta una vez tras salir “cara” y dos veces tras salir “sello”. Como ambas caras de la moneda tienen las mismas probabilidades de ocurrir, todos los despertares de la muchacha tienen también la misma probabilidad. Si la bruja hace 100 veces su truco, la Bella Durmiente despertaría 50 veces en lunes (luego de salir cara), 50 veces en lunes (tras salir sello) y 50 veces en martes tras sello. Si cada vez se le pregunta a la niña “¿Qué día es hoy?”, sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras sello que tras cara. Las probabilidades que asignará a “sello” serán 66,66% y a “cara” sólo el 33,33%.
¿Confundido? No te preocupes, no eres el único. ¿Cuál es la respuesta correcta? Adam Elga sostiene que la segunda situación es la correcta, y que existe un 33,33% de posibilidades de que la Bella Durmiente despierte el martes tras haber salido cara. David Lewis, otro experto en temas de lógica, piensa que la primera respuesta es la correcta, y que al arrojar una moneda al aire no hay otra alternativa que asignar un 50% de probabilidades a cada posible resultado.
Visto en : Maldita ciencia
Todos conocemos la clásica historia de la Bella Durmiente, que se hiere con una rueca embrujada y cae en un profundo sueño del que solo el beso de un príncipe la podrá sacar. Seguro que el argumento te resulta familiar, porque Disney ha hecho una fortuna con él. Pero un filosofo llamado Adam Elga, famoso por haber creado varios puzles difíciles de resolver, basándose en el trabajo de Arnold Zuboff (publicado como “One Self: The Logic of Experience”), le ha dado una vuelta de tuerca para convertirlo en un problema lógico de difícil solución. Supongamos que es domingo, y que la Bella Durmiente se pincha el dedo con la rueca. En ese instante, se hace presente la bruja y -antes que la muchacha se duerma- arroja una moneda al aire. Si sale cara, la Bella Durmiente se despertará de la maldición el lunes y ahí se acabará la historia, sin necesidad de príncipes salvadores y sin paradojas de ninguna clase. Pero si sale sello, también se despertará el lunes, aunque solo para volver a dormirse hasta el martes. Cuando despierte el martes estará libre de la maldición pero tendrá una pequeña secuela: gracias a las malas artes de la bruja, no se acordará si se despertó o no el lunes.
Puestas así las cosas, y con el Príncipe ausente del relato, nuestra Bella Durmiente se despierta sin saber si es lunes o martes. Dado que si despertó el lunes dicho evento fue borrado de su mente por la bruja, no tiene forma de saber en qué día se encuentra. Adam Elga asume que La Bella Durmiente es perfectamente racional y que el domingo, antes de quedar dormida, se ha enterado del plan elaborado por la bruja. Con estos datos, la niña puede asignar probabilidades al hecho de que sea lunes y al hecho de que sea martes. O, dicho de otro modo, puede asignar probabilidades al hecho de que la moneda cayera en cara o que cayera en sello. La cuestión a resolver es: ¿qué probabilidad subjetiva debería otorgarle ella a la hipótesis de que la moneda cayó en cara? Existen dos formas de encarar el problema.
La primera asume que como el domingo la Bella Durmiente sabía que la moneda no estaba trucada, tenía un 50% de probabilidades que cayera en cara. Dado que al ser despertada el lunes no recibe ningún dato adicional que pueda ayudarla a deducir su situación (ya que su memoria es borrada), la probabilidad es de un 50% de que sea lunes, y de un 50% de que sea martes. ¿Parece lógico, verdad? Pero antes de festejar, veamos la segunda forma en que se puede encarar este problema.
Supongamos que el experimento de la bruja se lleva a cabo un elevado número de veces. Al igual que antes, como la moneda no esta trucada, la mitad de las veces caerá cara y la otra mitad caerá en sello. Sabemos que la Bella Durmiente se despierta una vez tras salir “cara” y dos veces tras salir “sello”. Como ambas caras de la moneda tienen las mismas probabilidades de ocurrir, todos los despertares de la muchacha tienen también la misma probabilidad. Si la bruja hace 100 veces su truco, la Bella Durmiente despertaría 50 veces en lunes (luego de salir cara), 50 veces en lunes (tras salir sello) y 50 veces en martes tras sello. Si cada vez se le pregunta a la niña “¿Qué día es hoy?”, sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras sello que tras cara. Las probabilidades que asignará a “sello” serán 66,66% y a “cara” sólo el 33,33%.
¿Confundido? No te preocupes, no eres el único. ¿Cuál es la respuesta correcta? Adam Elga sostiene que la segunda situación es la correcta, y que existe un 33,33% de posibilidades de que la Bella Durmiente despierte el martes tras haber salido cara. David Lewis, otro experto en temas de lógica, piensa que la primera respuesta es la correcta, y que al arrojar una moneda al aire no hay otra alternativa que asignar un 50% de probabilidades a cada posible resultado.
Visto en : Maldita ciencia
martes, 30 de marzo de 2010
El número de oro en la naturaleza
Un clip de video hecho por Cristobal Villa e inspirado en los números, la geometría y la naturaleza. La serie de Fibonacci, la razón aurea, Fi y su relación con sucesos naturales es realmente increible. Este video da una pequeña muestra de ello.
Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.
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