Problemas para pensar : La Rifa

Una empresa quiere festejar su éxito regalando un millón y medio de dólares, para esto organiza dos rifas, una de un millón y otra de medio millón. En estos sorteos cada empleado puede participar gratuitamente, pero solo en uno. Si tú fueras un empleado de esa empresa ¿En qué rifa participarías?...

Un entretenido problema que utiliza razonamientos matemáticos en su solución. Puedes ver el rezonamiento del autor desde el siguiente vínculo : El problema de la rifa

Acertijos: El problema del Reloj

Como mi reloj atrasa, el martes a las 16:50 en punto lo puse en hora y el jueves a la hora exacta del medio día marcaba 11:53:00. ¿Cuánto atrasa por día?...


SOLUCION

Desde el martes a las 16: 50 hasta el jueves a las 12:00, han pasado 43:10 horas
43:10 horas = 2590 minutos
En éste tiempo el reloj se ha retrasado 7 minutos.
24 horas equivalen a 1440 min.
Por una regla de tres simples, en 24 horas el reloj retrasa 3,89 minutos

Los juegos y las matemáticas

Tres juegos muy divertidos y con explicacon matemática...

Los 3 sombreros

El dia que Einstein y su chofer se intercambiaron

La herencia del jeque

Kruskal ¿magia o matememáticas?

A continuación vas a ser todos vosotros partícipes de mis poderes mentales. En primer lugar elegid una palabra de entre las que componen la primera frase de esta entrada y poned el cursor encima. Contad el número de letras que tenga esa palabra y ahora avanzad tantas palabras como número hayáis obtenido. Por ejemplo, si elegís como palabra inicial "vais", que tiene cuatro letras, entonces la siguiente palabra a la que llegaréis será "vosotros". Volved a realizar el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar al final del primer párrafo, o lo más cerca del final que podáis llegar sin pasar al segundo. ¿Lo habéis hecho ya? Entonces estaréis justo AQUÍ.

Como dirían Trancas y Barrancas: ¡Brujeríaaaaaaaaa! Si no te lo crees, elige otra palabra y vuelve a realizar el proceso. ¿Dónde llegas? ¡Al mismo sitio! y lo que es peor, ¡por el mismo camino! Elijas la palabra que elijas, tarde o tenprano vas a seguir el camino de palabras en cursiva para llegar, irremediablemente, a la palabra final del primer párrafo.

En realidad, elijas el párrafo que elijas, de este artículo, blog, o de donde sea, si realizas este mismo proceso, siempre llegarás a la misma palabra final, que, eso sí, no siempre será la última del párrafo, pero da igual la palabra en la que comiences, que la del final (casi) siempre será la misma.

Como bien podréis imaginar, esto no es ni magia, ni brujería, ni poderes para-anormales. Se trata, como bien dijo Steffen Rohde2, de un lema matemático, o mejor dicho, un principio probabilístico debido al matemático y físico estadounidense Martin D. Kruskal.

El truco consiste en que, como a lo mejor ya te has dado cuenta, cuando 2 series de este tipo coinciden en una palabra, a partir de ahí, las series son la misma. La cuestión es, pues, saber si tarde o temprano, todas las posibles series convergen (no en el sentido de serie matemática) en una misma palabra. La respuesta es que no tiene porqué. Pero la probabilidad de encontrar una palabra inicial que haga que la serie encontrada sea rara (es decir, que no encuentre a otra serie) tiende a cero a medida que el número total de palabras del párrafo tiende a infinito. Es decir, que mientras más grande sea el párrafo, más difícil será que seamos capaces de encontrar una palabra que haga que nuestro juego falle.

En realidad este truco con el párrafos y letras se conoce desde hace mucho tiempo en el mundo de la cartomagia o magia con cartas como La Cuenta Kruskal. Basta con asignar a cada carta su valor numérico (las figuras, también), poner todas las cartas en fila (o en forma de tabla, da igual), elegir una carta de inicio e ir avanzando tantas cartas como su valor marque, y así sucesivamente. En una baraja francesa (52 cartas) en la que se le asigna a la J el valor 11, a la Q el 12 y a la K el 13, la probabilidad de fallo es de, aproximadamente, 33%; sin embargo si asignamos a todas las figuras el valor 10, entonces la probabilidad de fallo se reduce al 29%; y, finalmente, si asignamos el valor 5 a cada figura, la probabilidad de fallo es de apenas un 16% (cf. referencia 3). Por cierto, que la probabilidad de fallo es, en realidad, la probabilidad de que se coloquen las cartas de tal forma, que sea posible encontrar al menos 1 carta inicial que no llegue a la carta final típica. Es decir, que en el primero de los casos, en 1 de cada 3 formas de colocar las cartas es posible encontrar un inicio que haga que el truco falle, mientras que en las otras 2 de cada 3, todas las cartas te llevarán irremediablemente al mismo final: tu Destino está escrito.

Como podréis comprobar, mientras más pequeños sean los valores numéricos, parece que más fácil será que el truco funcione, así que ya sabéis, o bien usad cartas de valores pequeños, o bien utilizad fragmentos de texto que contengan pocas palabras largas. Afortunadamente, parece que esto es mucho más sencillo.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Puedes encontrar una versión interactiva de este truco en la web Proceedings of the Organics Mathematics Workshop, haciendo que todas las figuras tengan valor 1.

Extraído de : Eliatron

La suma de los 100 primeros números

Cuenta la historia que en el año 1787, cuando Carl Friedrich Gauss tenía apenas 10 años, un alboroto en el aula del colegio provocó que el maestro enojado, pidiera a los alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100. Creyendo que el castigo sería tenerlos a todos un buen rato ocupados.

A los pocos minutos, Gauss se levantó del pupitre, y le entregó el resultado de la suma al profesor : 5050. El profesor, asombrado y seguramente creyendo que su alumno había puesto un número arbitrariamente, se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma daba como resultado 5050.

¿Como hizo Gauss para resolver la suma en tan pocos minutos?. Si no se tratara de un problema matemático, seguramente creeríamos que el joven niño contaba con algún tipo de poder paranormal. En efecto, el poder más brillante a veces se encuentra en la razón.

Sucede que Gauss hizo lo siguiente:

Como debía sumar los números del 1 al 100; Es decir:

1+2+3+4+5+6+……………..+97+98+99+100.

Observó por un momento la secuancia de números y descubrió que si sumaba el primero con el último, el segundo con el anteúltimo y así sucesivamente obtenía siempre el mismo resultado:

(1+100) = (2+99) = (3+98) = …. = (50+51) = 101

Luego, y como entre el número 1 y el 100 tenía 50 pares de números, solo restaba multiplicar por 50 el resultado obtenido.

50 x 101 = 5050.

Mas tarde, Gauss aplicaría el mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.

Extraído de : Asustados : La suma de los 100 primeros números

Juego de sumas

El siguiente es un juego matemático muy entretenido, parecido al sudoku, que consiste en colocar los números de la izquierda en la cuadrícula hasta hacer desaparecer todos los números que conforman la misma. Este tipo de juegos suelen resultar muy útiles para entrenar nuestra mente en operaciones matemáticas básicas; En éste caso particular, la Suma de números.

Reglas del Juego

Para hacer desaparecer éstos números debemos seguir un procedimiento bastante simples. El número que colocamos debe ser igual a a la suma exacta de los números colindantes y si la suma fuera de dos dígitos el número colocado deberá ser igual al segundo dígito de la misma.

Por ejemplo, si debemos colocar un 8, una posible solución puede ser, ubicarlo colindante a los números 1, 3 y 4, como lo muestra la imágen de la izquierda o también ponerlo al lado de los números 6, 4 y 8 cuya suma es 18, entre otras tantas combinaciones posibles.

El cero puede ser colocado al lado de los números 3, 2 y 5 que dan 10, o al lado de otros números cuya suma sea igual a 10, 20, 30,... Ya que terminan en 0.

El juego de la Adivina

Descripción del juego:

El juego de la adivina o maga, consiste básicamente en un tablero con casilleros enumerados del 0 al 99. A cada número le corresponde una figura distinta. Al presentarse el juego, se le pedirá al jugador que piense un número de dos cifras y posteriormente le reste la suma de los dos dígitos pensados. Así; Si el jugador pensó el número 81 deberá realizar mentalmente la cuenta : 81 - ( 8+1) = 72. Se le pedirá al jugador que busque en el tablero el símbolo asociado a dicho número y para sorpresa de todos los presentes, el símbolo será "adivinado" como por arte de magia. De hecho, cualquiera que desconozca de los elementos matemáticos empleados en éste juego, creerá efectivamente que se trata de magia o algún tipo de energía desconocida que actúa sobre el jugador induciéndolo a pensar un número determinado. Afortunadamente, podemos explicar el juego con una breve demostración matemática que se expondrá a continuación.

Vista previa del juego:

Hipótesis:

Si observamos la segunda diagonal del tablero veremos que está formada por todos los múltiplos de 9. (9, 18, 27, ... 90); Además, en todos los casilleros de ésta diagonal, con excepción del 90, aparece dibujado el mismo símbolo. Incluso, cada vez que repetimos el juego, éstos símbolos cambian por otro distinto, pero siempre, iguales entre si en ésta diagonal. No es casualidad, entonces, que el símbolo adivinado posteriormente pertenezca a ésta diagonal. Intuitivamente, podríamos estar postulando que el símbolo adivinado siempre acompaña a un múltiplo de 9.

Pero vayamos a la demostración del problema. ¿Como es posible que se prediga el resultado del símbolo de forma arbitraria? Esto es posible, gracias a la "magia" de los números.

Todo número de dos dígitos puede expresarse de la siguiente manera: a X 10 + b X 1 con a y b pertenecientes a la familia de los enteros. Así; el 45 se puede escribir matemáticamente como: 4 X 10 + 5 X 1

Ahora bien; Considerando el postulado anterior, podríamos probar que el número que elegimos al azar menos la suma de sus dígitos es siempre un múltiplo de nueve y con ésto demostraríamos que el juego es solo un artilugio matemático y no un hecho inexplicable.

Demostración:

Utilizando la notación descripta en el párrafo anterior y siguiendo el enunciado del problema, escribimos la cuenta de la siguiente manera:

Número elegido menos la suma de sus dígitos: a X 10 + b X 1 - (a+b)

Restaría probar que ésta expresión es siempre un múltiplo de nueve; Es decir es de la forma 9 X p con p perteneciente a los enteros. Trabajando entonces sobre la primera expresión obtendremos:

a X 10 + b X 1 - (a+b) = 10 a + b - a - b = 10 a - a = 9 a = 9 X a

Y como a y p son ambos enteros, deducimos que la expresión es siempre un múltiplo de 9 y además encontramos otra curiosa relación: que siempre "a" es igual a "p".

Pero... ¿Que significa éste último descubrimiento? Que para cualquier número que elijamos de dos cifras, se cumplirá que : El primer dígito de éste número multiplicado por 9 nos dará el número del casillero resultante al igual que si realizaramos la resta. (Este resultado es muy sencillo de demostrar pero se dajará la demostración para otro momento).

Enlace para descargar el juego de la Adivina

(El archivo es un programa realizado en Power Point) Bajar el archivo, ejecutar y a jugar!