Social Icons

twitterfacebookgoogle pluslinkedinrss feedemail

sábado, 3 de octubre de 2009

El problema de Monty Hall


Imagina que estás en un concurso donde se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un Lamborghini Mutciélago y detrás de las otras hay cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces el presentador te pregunta: "¿No prefieres cambiar tu respuesta y escoger la nº2?".

¿Dónde es más probable que se encuentre el automóvil?

SOLUCION

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemáticos: Sea X:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

4 comentarios:

  1. Si no entendí mal, tengo 1/3 de prob. de acertar en mi escogencia; y el presentador discrimina dándome el otro tercio. En otras palabras (pregunto ???) no sería lo mismo decir que es un evento con reemplazo en 2 escogencias de 1 en 3?
    La teoría de juegos me apasiona pero no es mi fuerte :-/

    ResponderEliminar
  2. Hola qué tal? estuve viendo algunas cosas en tu blog. Trabajo con posicionamiendo web y tengo una propuesta de publicidad : 50 euros cada mes por incertar pequeños links de nuestros anunciantes. Son 50 euros mensuales para cada blog que se registre con nosotros.
    Saludos -comunicate-

    ResponderEliminar
  3. Hola!

    Mi nombre es Oscar Aguilar, a través de la web encontré tu página
    y me pregunto si te gustaría intercambiar enlaces
    con una de mis webs. Actualmente tengo una web de Chat y
    estoy buscando otras páginas relacionadas para enlazar a mi web.

    Tu enlace estarìa en:

    http://www.misletrasdemusica.com/

    Si te interesa, por favor agrega a tu página la siguiente información
    de mi enlace y hazme saber cuando este listo para colocar tu enlace
    inmediatamente.

    Mi información es:

    Titulo: chat gratis

    Por favor el titulo enlazado a esta URL:

    http://www.echatgratis.com/

    Descripción(opcional):

    Bienvenido a EChatGratis.com, el mejor lugar para encontrar salas de chat gratis, de texto y video (videochats) en español y para la comunidad hispana.


    Quedo a la espera de tu respuesta.

    Oscar Aguilar
    oscar.aguilar@misletrasdemusica.com

    Webmaster

    PD - Con el fin de seguir las políticas anti-spam, si no deseas recibir
    más solicitudes de este tipo por favor llena el siguiente formulario:
    HTTP://WWW.NOMOREMAILS.COM o manda un mail a: STOP@NOMOREMAILS.COM y
    evitaremos contactarte nuevamente.

    ResponderEliminar
  4. Es muy conocido este problema. Supongamos que hay 3 puertas solamente. Si eligo 1, tengo 1/3 de probabilidad de ganarme el auto. Si el presentador me "abre" una puesta mas, ahora se que puede estar en solo 2 puertas: La que ya elegí o la restante. Como la primera puerta la elegí habiendo 3 puertas, conviene cambiar de puerta (y de este modo la nueva puerta la habremos elegido entre 2 y no entre 3 como fue la que abrimos originalmente)

    Saludos desde Argentina,
    Matías

    ResponderEliminar

 
Blogger Templates