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miércoles, 25 de febrero de 2009

El problema de los Barriles.

Dos viajantes van vendiendo vino por los pueblos. En su furgoneta llevan 3 barriles: Uno de 8 litos lleno de vino y otros dos vacíos de 3 y 5 litros de capacidad. A mitad del camino se pelean y deciden repartir el vino en partes iguales, pero solo disponen de los barriles citados. ¿Como podrán hacerlo?.

Dicho de otra forma; Cuantas veces crees que será necesario trasvasar el contenido de un barril a otro para que cada viajante se quede con 4 litros de Vino.

Yo obtuve un resultado luego de trasvasar el vino 6 veces - Posiblemente no sea la única solución y tal vez no es la más corta pero el gráfico salió muy bonito:


Te animas a contarnos tu solución?...

lunes, 23 de febrero de 2009

Glosario Matemático: El número de Oro

El número aureo o de oro (también llamado número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega ? (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:




Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más cortob.

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Así mismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

El número phi en la arquitectura.

Es incontable la cantidad de obras arquitectónicas de todops los tiempos en los que se hace presente el número de Oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2?. La pirámide de Keops mide 230 metros de lado, la base de la pirámide es cuadrada.

AC = 230/2 = 115

?? ? 1.272

AB = ?? –> ?? x 115 ? 146,28 que son los metros de altura de la pirámide de Keops.

BC = ? x 115 ? 186,07 metros desde el centro de un lado de la base hasta el pico de la pirámide.

Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre. 100 x ? x 2 ? 323,61 metros que es la altura de la torre.

También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el dibujo donde el espacio azul seria igual a uno y Phi seria el espacio azul más el dorado.


El creador del Partenón (Debajo) fue Phidias. En realidad, el número de oro se llama Phi en su nombre, y la abreviatura Ø corresponde a la inicial de Phidias en griego.

La fachada del partenón es un perfecto rectángulo de oro, pero además, hay otra serie de medidas en el edificio que también poseen proporciones áureas:

En la foto están marc ados los rectángulos áureos: ABCD, AEGH, AEBF, y sus simétricos. Además, la zona de las molduras (en color violeta) también está compuesta por rectángulos áureos.

La razón áurea y el Arte.

El rosotro de la Gioconda, pintada por Leonardo, se encuadra en un rectángulo áureo. [Razón áurea en la Gioconda]

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.


En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

Phi en la música.

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Caracteristicas de la Sonata Nº1 para piano de Mozart:

  • El segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero
  • Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315
  • Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 / 28 = 1.6428

Aunque no sabemos con precisión que Beethoven estuviera al tanto de ésto, pero en su Quinta Sinfonía, distribuye el tema siguiendo la sección áurea. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella.

Los músicos de jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoría de escalas, armonía y formas que usan habitualmente, pero igual producen obras armoniosas.

El Piano:El piano está constituido por siete octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas.

Así, los primeros seis números de la Sucesión de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras ( en grupos de 2 y 3).

La Razón Aurea en la Naturaleza.

Podemos establecer una relación con Phi en la distancia de los diferentes planetas del sistema solar al sol, en las semillas del girasol, en las proporciones morfológicas de una abeja, en la temperatura corporal de los animales y en una infinidad de fenómenos naturales. A continuación y por cuestiones de espacio, solo detallaremos una de éstas relaciones del número de oro con la naturaleza.

La imágen anterios es unaconcha de Nautilo. Si del rectángulo áureo ABCD extraemos el cuadrado AEFD nos queda otro rectángulo áureo EBCF, a este le extraemos el cuadrado EBHG tenemos otro rectángulo áureo GHCF y así podríamos seguir hasta el infinito.

Si a partir de estos cuadrados resultantes trazamos una curva que empieza por D hasta E con centro F después de E con centro G hasta H, aquí también podríamos seguir hasta el infinito, conseguimos una espiral logarítmica que se puede encontrar en la naturaleza en plantas y en animales, como en la concha de los nautilos.

El núero de Phidias en la vida cotidiana. La Razón Aurea.

El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

Artículo extraído de : El número de Oro; La Razón Aurea.

Aprender algebra jugando.

Existen numerosos juegos de adivinanza en los que se utilizan herramientas matemáticas como base teórica para su construcción. Muchos de éstos juegos, emplean operaciones algebráicas en las que las incógnitas se cancelan, pudiendo así determinar a priori el resultado del problema.

Veamos un caso práctico para comprender mejor como funciona éste método:

Pedimos a nuestros alumnos que realicen las siguientes operaciones:

1) Piensa un número cualquiera.
2) Multiplícalo por 2.
3) Al resultado súmale 9.
4) Al resultado súmale el número que pensaste.
5) Al resultado divídelo por 3.
6) A lo que quedó súmale 4.
7) Al resultado, réstale el número que pensaste.

El resultado de aplicar éstas operaciones es siempre 7 independientemente del número elegido.

Demostración:

Los datos anteriores se pueden expresar en lenguaje algebráico de la siguiente manera:

1) Piensa un número cualquiera. X
2) Multiplícalo por 2. 2X
3) Al resultado súmale 9. 2X + 9
4) Al resultado súmale el número que pensaste. 2X + 9 + X
5) Al resultado divídelo por 3. 2X + 9 + X / 3
6) A lo que quedó súmale 4. (2X + 9 + X / 3) + 4
7) Al resultado, réstale el número que pensaste. [(2X + 9 + X / 3) + 4] - X

Si resolvemos las operaciones matemáticas planteadas, veremos que las X se cancelan y el número resultante es 7

[(2X + 9 + X / 3) + 4] - X = [(3X + 9 / 3) + 4] - X = X + 3 + 4 - X = 7

Luego de probar con varios números y ver que siempre se cumple dicho resultado, podemos incentivar a nuestros alumnos a descubrir una expresión general que sirva para cualquier número pensado.

Adivinando el pensamiento; Otros problemas similares:

Juego A

1) Piensa un número.
2) Súmale 10
3) Multiplícalo por 2
4) Súmale el doble del dinero que llevas en la billetera
5) Réstale 10
6) Divídelo por 2
7) Réstale el número que pensaste
8) Réstale el dinero que llevas en la billetera.

Respuesta 5


Juego B

1) Piensa un número
2) Multiplícalo por 3
3) A lo que quedó súmale 14
4) Al resultado súmale el número que pensaste
5) A lo que quedó réstale 2
6) El resultado divídelo entre 4
7) A lo que quedó réstale 3

Respuesta: Es el número que pensaste

domingo, 22 de febrero de 2009

Widgets Matemáticos: Calculadora online

Les traigo ésta pequeña calculadora en formato swf, realizada en Flash MX. Por ahora solo tiene operaciones básicas. Suma - Resta - División - Multiplicación - Memoria - Borrar. Esperemos que la próxima entrega de "calculadora" tenga algunas funciones más. Para utilizarla como widget solo debes copiar y pegar el siguiente código en tu blog.

Calculadora 1.0 - en Flash MX




Copia y pega el siguiente código en tu web:

Curiosidad matematica



sábado, 21 de febrero de 2009

La Leyenda del Juego del Ajedrez : Series Exponenciales

La leyenda del Ajedrez.



Circulan muchas leyendas acerca de su origen y diferentes países se atribuyen su invención. Hoy se cree que el ajedrez constituye una evolución del juego de mesa llamado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, ideado en la India en el siglo VI. [Ver Evolución del Ajedrez].

Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de su verdadero origen, existe una leyenda muy entretenida.

Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un jóven llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan encantado con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la primer casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa:

¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!

De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una variación de la historia sugiere que el Rey furioso por ésta situación mandó a decapitar al joven inventor, pero hay quienes evitan contar éste final infelíz y se contentan con explicar los elementos matemáticos que están presentes en el relato.

Solución:

Veamos comos se realiza la cuenta del pedido de Sissa.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ... + ...


El último sumando es siempre el doble que el número anterior.
Esto se puede expresar como una suma de potencias de base 2:

1 + 2 + 2^2 + 2^4 + 2^3 + ... + 2^62 + 2^64


Donde 2^x "significa 2 elevado a la x"

Al realizar ésta cuenta, el resultado es una gran cantidad de granos:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo


Si; más de 18 billones de granos de trigos.

Jugar Ajedrez en línea.


Flash Chess 3 es un sitio web que ofrece la posibilidad de jugar ajedres de forma online contra un programa realizado en Macromedia Flash. Podemos elegir entre varias opciones de juego: Avanzado, Casual y Novato, adecuando así el nivel a nuestros conocimientos. El sitio ofrece como alternativa la posibiliad de descargar el juego completo con numerosas características adicionales.


Yahoo Juegos, nos ofrece la posibilidad de jugar en línea con otros ajedresistas de todo el mundo y así medir nuestro nivel de juego. Para jugar, nuestra PC debe tener instalado un software especial que se puede descargar desde Java de Sun Microsistem de forma gratuita. Los jugadores son rankeados por sistema de puntos Elo que es el método para calcular la fuerza relativa de los jugadores a nivel mundial.

Otra alternativa, si tenemos con quien jugar, pero nos hemos olvidado el tablero y las piezas de ajedrez es éste programa especialmente creado para dos jugadores. Juegos Diarios : Ajedrez para dos jugadores.

viernes, 20 de febrero de 2009

La suma de los 100 primeros números

Cuenta la historia que en el año 1787, cuando Carl Friedrich Gauss tenía apenas 10 años, un alboroto en el aula del colegio provocó que el maestro enojado, pidiera a los alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100. Creyendo que el castigo sería tenerlos a todos un buen rato ocupados.

A los pocos minutos, Gauss se levantó del pupitre, y le entregó el resultado de la suma al profesor : 5050. El profesor, asombrado y seguramente creyendo que su alumno había puesto un número arbitrariamente, se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma daba como resultado 5050.

¿Como hizo Gauss para resolver la suma en tan pocos minutos?. Si no se tratara de un problema matemático, seguramente creeríamos que el joven niño contaba con algún tipo de poder paranormal. En efecto, el poder más brillante a veces se encuentra en la razón.

Sucede que Gauss hizo lo siguiente:

Como debía sumar los números del 1 al 100; Es decir:


1+2+3+4+5+6+……………..+97+98+99+100.


Observó por un momento la secuancia de números y descubrió que si sumaba el primero con el último, el segundo con el anteúltimo y así sucesivamente obtenía siempre el mismo resultado:


(1+100) = (2+99) = (3+98) = …. = (50+51) = 101


Luego, y como entre el número 1 y el 100 tenía 50 pares de números, solo restaba multiplicar por 50 el resultado obtenido.


50 x 101 = 5050.


Mas tarde, Gauss aplicaría el mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.

Extraído de : Asustados : La suma de los 100 primeros números

Curiosidades Matemáticas : La Herencia de los Camellos

Un jefe árabe dejó en herencia 17 camellos para sus tres hijos, de modo que tenían que repartírselos del siguiente modo:

La mitad para el mayor de los tres hijos.

La tercera parte para el mediano.

La novena parte para el más pequeño de los tres.

Ante la imposibilidad de hacer el reparto de los camellos, acudieron al Cadí. Se trataba de un hombre justo, generoso y un buen matemático.

¿Cómo afrontó el Cadí la situación?


Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el total de camellos a repartir. Así al mayor de los tres hermanos le correspondió 9 camellos, al mediano, 6 y al pequeño 2. Pero con esto sobró 1 camello, que naturalmente devolvieron al Cadí llenos de agradecimiento y admiración por su sabiduría.

Pero... ¿Como es posible?


Este curioso resultado proviene de ser la suma: 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18
menor que la unidad. De modo que el reparto de los 17 camellos entre los tres herederos no se habría hecho por completo; hubiera sobrado 1/18 de 17 camellos.
Habiendo aumentado el dividiento a 18, el sobrante resultó entonces 1/18 de 18 camellos.

Idea extraída de "Hombre que Calculaba" de Malba Tahan.

miércoles, 18 de febrero de 2009

Juego de sumas

El siguiente es un juego matemático muy entretenido, parecido al sudoku, que consiste en colocar los números de la izquierda en la cuadrícula hasta hacer desaparecer todos los números que conforman la misma. Este tipo de juegos suelen resultar muy útiles para entrenar nuestra mente en operaciones matemáticas básicas; En éste caso particular, la Suma de números.

Reglas del Juego

Para hacer desaparecer éstos números debemos seguir un procedimiento bastante simples. El número que colocamos debe ser igual a a la suma exacta de los números colindantes y si la suma fuera de dos dígitos el número colocado deberá ser igual al segundo dígito de la misma.

Por ejemplo, si debemos colocar un 8, una posible solución puede ser, ubicarlo colindante a los números 1, 3 y 4, como lo muestra la imágen de la izquierda o también ponerlo al lado de los números 6, 4 y 8 cuya suma es 18, entre otras tantas combinaciones posibles.

El cero puede ser colocado al lado de los números 3, 2 y 5 que dan 10, o al lado de otros números cuya suma sea igual a 10, 20, 30,... Ya que terminan en 0.

martes, 17 de febrero de 2009

El juego de la Adivina

Descripción del juego:

El juego de la adivina o maga, consiste básicamente en un tablero con casilleros enumerados del 0 al 99. A cada número le corresponde una figura distinta. Al presentarse el juego, se le pedirá al jugador que piense un número de dos cifras y posteriormente le reste la suma de los dos dígitos pensados. Así; Si el jugador pensó el número 81 deberá realizar mentalmente la cuenta : 81 - ( 8+1) = 72. Se le pedirá al jugador que busque en el tablero el símbolo asociado a dicho número y para sorpresa de todos los presentes, el símbolo será "adivinado" como por arte de magia. De hecho, cualquiera que desconozca de los elementos matemáticos empleados en éste juego, creerá efectivamente que se trata de magia o algún tipo de energía desconocida que actúa sobre el jugador induciéndolo a pensar un número determinado. Afortunadamente, podemos explicar el juego con una breve demostración matemática que se expondrá a continuación.

Vista previa del juego:

Hipótesis:

Si observamos la segunda diagonal del tablero veremos que está formada por todos los múltiplos de 9. (9, 18, 27, ... 90); Además, en todos los casilleros de ésta diagonal, con excepción del 90, aparece dibujado el mismo símbolo. Incluso, cada vez que repetimos el juego, éstos símbolos cambian por otro distinto, pero siempre, iguales entre si en ésta diagonal. No es casualidad, entonces, que el símbolo adivinado posteriormente pertenezca a ésta diagonal. Intuitivamente, podríamos estar postulando que el símbolo adivinado siempre acompaña a un múltiplo de 9.

Pero vayamos a la demostración del problema. ¿Como es posible que se prediga el resultado del símbolo de forma arbitraria? Esto es posible, gracias a la "magia" de los números.

Todo número de dos dígitos puede expresarse de la siguiente manera: a X 10 + b X 1 con a y b pertenecientes a la familia de los enteros. Así; el 45 se puede escribir matemáticamente como: 4 X 10 + 5 X 1

Ahora bien; Considerando el postulado anterior, podríamos probar que el número que elegimos al azar menos la suma de sus dígitos es siempre un múltiplo de nueve y con ésto demostraríamos que el juego es solo un artilugio matemático y no un hecho inexplicable.

Demostración:

Utilizando la notación descripta en el párrafo anterior y siguiendo el enunciado del problema, escribimos la cuenta de la siguiente manera:

Número elegido menos la suma de sus dígitos: a X 10 + b X 1 - (a+b)

Restaría probar que ésta expresión es siempre un múltiplo de nueve; Es decir es de la forma 9 X p con p perteneciente a los enteros. Trabajando entonces sobre la primera expresión obtendremos:

a X 10 + b X 1 - (a+b) = 10 a + b - a - b = 10 a - a = 9 a = 9 X a

Y como a y p son ambos enteros, deducimos que la expresión es siempre un múltiplo de 9 y además encontramos otra curiosa relación: que siempre "a" es igual a "p".

Pero... ¿Que significa éste último descubrimiento? Que para cualquier número que elijamos de dos cifras, se cumplirá que : El primer dígito de éste número multiplicado por 9 nos dará el número del casillero resultante al igual que si realizaramos la resta. (Este resultado es muy sencillo de demostrar pero se dajará la demostración para otro momento).

Enlace para descargar el juego de la Adivina

(El archivo es un programa realizado en Power Point) Bajar el archivo, ejecutar y a jugar!
 
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