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lunes, 21 de diciembre de 2009

Juegos de Azar : El Pase Inglés

El pase inglés es un conocido juego de azar que se juega con dos dados. El tirador lanza los dados sobre la mesa o paño de juego y suma el resultado obtenido en ambos dados.

Si sale un 7 o un 11 en el primer tiro, se está en presencia de una situación denominada "buena" y el tirador gana todas las apues­tas. Un 2, 3, 0 12, se llama "mala" o "barraca". En dicho caso el jugador pierde todas sus apuestas.

Cuando sale uno de estos números, se pagan las apuestas, el tirador retiene los dados, anun­cia su próxima apuesta y el juego continúa como antes.

Un 4, 5, 6, 8, 9, 0 10 en el primer tiro, se denomina "punto del tirador". Cuando el tirador saca uno de estos puntos, debe continuar tirando hasta que el juego esté establecido. Si nuevamente logra ese punto antes de sacar un 7, gana todas las apuestas, Si sacara un 7 antes de repetir su punto, las pierde.

El juego posee otras reglas específicas que en éste momento no desarrollaremos. Lo que nos interesa es establecer cuales son las probabilidades involucradas en éste juego.

Probabilidades en el Pase Inglés

Hay treinta y seis combinaciones posibles de dos dados. (Por cada una de las seis formas en que un dado puede aparecer, hay otras seis en que puede aparecer el segundo dado: 6X6=36.) Los resultados van desde 2 (1-1) a 12 (6-6).

A continuación enumeramos las distintas combinaciones en que se puede formar un número con un tiro de dos dados:
Combinaciones

2 se puede lograr de una sola forma: 1-1
3 se puede lograr de dos formas: 1-2 o 2-1
4 se puede lograr de tres formas: 1-3, 3-1 o 2-2
5 se puede lograr de cuatro formas: 1-4, 4-1, 2-3 o 3-2
6 se puede lograr de cinco formas: 1-5, 5-1, 2-4, 4-2 o 3-3
7 se puede lograr de seis formas: 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4 o 4-3
8 se puede lograr de cinco formas: 2-6, 6-2, 3-5, 5-3 o 4-4
9 se puede lograr de cuatro formas: 3-6, 6-3, 4-5 o 5-4
10 se puede lograr de tres formas: 4-6, 6-4 o 5-5
11 se puede lograr de dos formas: 5-6 o 6-5
12 se puede lograr de una forma: 6-6
Como se puede observar en este cuadro, el tirador tiene dos probabilidades sobre una de ganar en el primer tiro, pues tiene ocho formas de hacer un 7 o un 11, en oposición al total de cuatro combinaciones con que puede formar un 2, un 3 o un 12.

Sin embargo, hay dos probabilidades contra una de que el primer tiro no decida el juego en cualquiera de las dos formas, pues solo doce de los treinta y seis posibles resultados deciden el juego en el primer tiro, mientras que veinticuatro no lo hacen.

Las posibles formas para una apuesta se pueden determinar de acuerdo con el cuadro ya citado, tomando en cuenta el número de combinaciones en que se puede perder una apuesta con respecto al número en que puede ser ganada.

Por ejemplo, las probabilidades correctas en contra de hacer cada uno de los puntos se puede determinar, comparando el número de combinaciones para formar un 7 con el número de combinaciones para formar el punto:

A continuación un entretenido juego que consiste en tirar dos dados y mover un lugar el auto numerado con la suma de los dos resultados obtenidos. ¿Que autito ganará ésta carrera?:



Si tenemos en cuenta la tabla de probabilidades de la suma de los resultados de los dos dados, veremos que el autito que más chance tiene de ganar ésta carrera es el número 7, le siguen el 8 y el 6 con igual probabilidad y asi sucesivamente hasta el 12 y el 2.

Probabilidades: Cara o Cruz?

Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”. Veamos como la siguiente anécdota justifica esta descripción.

Dos estudiantes de Instituto intentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando una moneda. Si sale cara irán al cine, si sale cruz saldrán a tomar una gaseosa y si la moneda cae de canto, estudiarán.

La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal, tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas.

Pues bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?

Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de la probabilidades involucradas.

Supongamos por el momento que denotamos por p el valor numérico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz también debe tener asignado el valor p.

Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz sigue que 2p debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos plazca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es : 1/2 ; la probabilidad de que muestre cruz es : 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es:

Si analizamos detalladamente el ejemplo, podemos apreciar :



Un experimento aleatorio, lanzar una moneda al aire

Unos resultados puntuales, sale cara o sale cruz y no podemos tener la certeza de antemano de que sea cara o sea cruz.

Unas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados, que se basan en el sentido común y en nuestra experiencia previa.

La ley de los Grandes Números

Anteriormente hemos fijado la probabilidad de que salga cara o cruz en 1/2. Existe otra manera de calcular esta probabilidad. Esta manera consiste en realizar el experimento de lanzar muchas veces la moneda e ir anotando en cuantas de éstas oportunidades salió cara y en cuantas otras salió cruz.

La siguiente herramienta didáctica te puede ayudar a lanzar la moneda muchas veces de manera aleatoria:



Lanzando una cantidad de veces suficiente la moneda, veremos como el número de caras y de cruces se va igualando. Podemos deducir entonces que para un nº lo suficientemente grande la probabilidad de este evento es 1/2 (0,5)

martes, 24 de noviembre de 2009

Un Juego de Ingenio

Planarity es un juego de lógica e ingenio. El juego consiste en organizar los vértices de manera que las líneas no queden superpuestas. Los dos primeros niveles son un poco menos tediosos, a partir del tercer nivel debes encontrar una orma lógica de mover los puntos ya que de lo contrario puedes pasarte algunas horas intentando resolverlo.
Fuente : Planarity

Puedes jugar planarity desde aqui:


Calculum: Un juego novedoso!

Calculum es un juego matemático muy divertido, ya seas que prefieras jugarlo solo o con otros oponentes. Se trata de un juego similar al Screbbel pero con números en lugar de letras y con operaciones matemáticas en vez de palabras.

Algunas escuelas, están utilizando Calculum para motivar a los alumnos a desarrollar las actividades mentales con númeos. Este novedoso juego se puede bajar desde el enlace: Calculum
Es necesario estar registrado en el foro para poder bajar el juego.

miércoles, 18 de noviembre de 2009

Problemas geométricos - Geometría del secundario

1. Si una rectángulo tiene base 15cm y área 105cm2 ¿Cuánto mide su altura?


A) 10 cm
B) 7 cm
C) 90 cm
D) 15 cm


2. En un triángulo escaleno sus lados son números enteros consecutivos (por ejemplo 6, 7 y 8). Encuentra la medida del lado menor si su perímetro es de 87 cm


A) 13 cm
B) 28 cm
C) 30 cm
D) 21 cm


3. Si el área de un cuadrado es 144 cm2. ¿Cuánto miden sus lados?


A) 12 cm
B) 36 cm
C) 14 cm
D) 17 cm


4. Se quiere empastar un terreno rectangular que es 10 metros más largo que ancho y su perímetro es de 100 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitan comprar para empastarlo?


A) 875 m2
B) 900 m2
C) 600 m2
D) 120 m2


5. El perímetro de un triángulo equilátero es 60 cm más grande que la medida de sus lados. ¿Cuánto miden los lados de dicho triángulo?


A) 20 cm
B) 30 cm
C) 15 cm
D) 12.5 cm


6. El área de un trapecio es de 64 cm2 su altura es de 8 cm y el de su base mayor 12 cm. ¿Cuánto mide su base menor? Nota: No olvides escribir la respuesta con sus unidades, es decir, dejando un espacio y poniendo: cm


7. Si el perímetro de un cuadrado es 36 cm más grande que uno de sus lados. ¿Cuánto mide su área?


A) 144 cm2
B) 81 cm2
C) 36 cm2
D) 121 cm2


8. Si el área de un triángulo es de 112 cm2 y su base es de 14cm ¿cuánto mide su altura?


A) 7 cm
B) 8 cm
C) 16 cm
D) 20 cm


9. Si el perímetro de un rombo es de 48 cm ¿cuánto miden sus lados?
Nota: No olvides escribir la respuesta con sus unidades, es decir, dejando un espacio y poniendo: cm


10.
Si el perímetro de un cuadrado mide 20 cm. ¿Cuánto mide su área?


A) 400 cm2
B) 5 cm
C) 16 cm2
D) 25 cm2


SOLUCIONES

1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.4 cm 7.A 8.C 9.12 cm 10.D

Problemas de áreas y perímetros

Problema nº 1

Una figura está formada por un cuadrado de [8cm] de lado y dos semicírculos como aparecen en la figura.



a) ¿Cuanto mide le perímetro de la figura?.

b) ¿Cuanto mide el área?.

Ideas para la solución:

(a) Tener en cuenta que el perímetro de la figura está formado por dos lados del cuadrado y el perímetro de una circunferencia de diámetro [d = 8cm] (las dos semicircunferencias forman una circunferencia completa).

La fórmula del perímetro de una circunferencia es:

[p = d . PI]

(b) La superficie es suma del área del cuadrado y de la circunferencia.

El área de un cuadrado de lado [L] es [L^2]

El área de un círculo de radio [r] es [PI . r^2] El diámetro es el doble del radio.

Problema Nº 2

Hallar el perímetro y el área del Pentágono Regular.

martes, 10 de noviembre de 2009

Teoría de cuerdas. Ciencia o Pseudociencia?

La ciencia actual acepta la existencia de cuatro fuerzas fundamentales para describir los fenómenos naturales conocidos. Estas fuerzas son: La fuerza gravitacional, la fuerza electromagnética y la interacción nuclear fuerte y débil.

En la búsqueda de la física, por construir una teoría unificada que explique dichos fenómenos en su totalidad, surgieron, hace más de treinta años, las primeras teorías que hablaban sobre las cuerdas.

Las cuerdas son básicamente unos hilos de energía sobre la cual se compondrían todas las partículas de la materia, dependiendo, cada nuevo elemento, de la forma en que éstas oscilen. Matemáticamente, dichas cuerdas necesitarían de al menos once dimensiones espaciales para dar lugar a las fuerzas físicas así como a los componentes de la materia.

leonhard_euler

Antecedentes de la teoría de cuerdas

Hace más de docientos años, el matemático Leonhard Euler habría ideado un conjunto de ecuaciones en un intento por unificar éstas fuerzas; Más tarde, la recopilación de su trabajo, sumado a nuevos aportes de un grupo de pensadores habría dado lugar a la actual teoría de cuerdas.

Edward Witten postularía más adelante su teoría de unificación denominada Teoría M o Teoría U. En ella definió elementos que no sólo podían ser cuerdas vibrantes sino objetos de una dimensionalidad mayor. Estos elementos se conocen con el nombre de membranas o p-branas.



En busca de las dimensiones ocultas


Primera Parte

Segunda parte


Artículo Extraido de : Asusta2; Teoría de cuerdas: Existen múltiples dimensiones?

sábado, 31 de octubre de 2009

Matemáticas en el Supermercado! - Problema de colas

Cuando vamos al supermercado y llega el momento de pagar: Cuantas veces nos hemos preguntado que será mejor: Ponernos en la cola con más gente pero que tienen pocos productos o por el contrario, pasar por la caja que cuya cola es menor, pero los compradores llevan más productos para pagar.


Ryan Sager, formula una solución muy sencilla a éste interrogante cotidino : la velocidad en las colas de los supermercados.

Ryan, despues de meditar un momento sobre el problema, llega a la conclusión de que las filas con poca gente y muchos productos son, por lo general, más veloces. El motivo es claro: lo que más tiempo consume es pagar. Los clientes tardan en hacerlo unos 48 segundos, mientras que las cajeras pasan cada producto en 2,8 segundos de media.

De esta forma, una cola de 6 personas con tres productos cada una tardará algo más de 5 minutos (306 segundos), mientras que una cola de 2 personas con 20 productos pasará por la caja en algo menos de 3 minutos y medio (208 segundos).

Según este razonamiento, las llamadas “cajas rápidas”, en las que suele haber muchos clientes con pocos artículos cada uno, al final pueden resultar más lentas. A no ser que tengan varias cajeras por cola, como ocurre en algunos hiper de grandes superficies.

jueves, 29 de octubre de 2009

Un día como hoy: Un 29 de Octubre nació el símbolo de la integral



En 1675 Gottfried Leibniz escribió el símbolo de la integral ∫ en un manuscrito, introduciendo esta notación en el cálculo, que hoy en día se sigue utilizando. El departamento de matemáticas de la Universidad de San Buenaventura en el estado de Nueva York celebra el Día Integral cada 29 de octubre en honor a Leibniz.

Biografía de Gottfried Leibniz

Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más, y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas."[2] De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot, contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible. [leer toda su biografía en la Wikipedia]

sábado, 3 de octubre de 2009

El problema de Monty Hall


Imagina que estás en un concurso donde se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un Lamborghini Mutciélago y detrás de las otras hay cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces el presentador te pregunta: "¿No prefieres cambiar tu respuesta y escoger la nº2?".

¿Dónde es más probable que se encuentre el automóvil?

SOLUCION

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemáticos: Sea X:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

lunes, 14 de septiembre de 2009

Una curiosidad de los polígonos!

"Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados". Así comienza Wikipedia su artículo en Español donde también se puede leer que un triángulo (3 lados), un pentágono (5 lados), un pentacontágono (50 lados) y un megágono (1 millón de lados) son igualmente polígonos.

Bueno, pues Roger Alsing escogió 50 de esas figuras, 50 polígonos semitransparentes, para ser más exactos, y dejó que un programa creado por él mismo los cambiara de tamaño, de forma y de color, superponiéndolos entre sí y comparándolos con una figura original a la cual debían parecerse. Si no era el caso, pues volvía a cambiar (mutar) las características de los polígonos simulando una evolución y, bueno, ¡adivinen qué obtuvo al final! Véanlo ustedes mismos:



(Dé click en la imagen para ampliarla)

Increíble, ¿verdad?

Roger Alsing no sólo nos muestra en su blog estos resultados de su programa al pintar a la famosísima Mona Lisa sino que explica por qué se interesó en el problema, ofrece el código del programa, enseña otras imágenes que obtuvo en una galería y se sigue debatiendo en su blog con los lectores para ponerle nombre a la criatura (algunos dicen que es un tipo de programa, otros que otro, y yo, que doy clases de ellos, pues también les enseñaré a mis alumnos estas maravillas de las metaheurísticas).

Los dejo con otra obra de arte que Roger Alsing obtuvo con su programa (a la izquierda está el original y a la derecha la que pinta el programa):

miércoles, 9 de septiembre de 2009

Humor con elementos matemáticos

Una divertida demostración de como estudiar es igual a fracasar! (Claro que se trata simplemente de una broma, utilizando elementos matemáticos legítimos)



Visto en : Vincula2

miércoles, 2 de septiembre de 2009

Bibliografías: Pitágoras

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música.

Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre.

Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.
A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

En términos matemáticos quedaría expresada así.


sábado, 18 de julio de 2009

Cálculos sorprendentes



El planetario Internacional en Vancouver de la British Columbia Canadá ha calculado la precisión en la que Marte estará orbitando cerca de la tierra. Será el día 27 de agosto del 2009.

Pero lo mas interesante de todo es que esto estaba predicho en un códice Maya encontrado el la pirámide a lado del Observatorio Estelar en Palenque en Chiapas México. Con este cálculo matemático Maya ahora los Mayas, a quien ya hemos hecho mención en el artículo de las 7 profesías mayas, son considerados como los Griegos de América y orgullo de Guatemala.

Al menos durante unas cuatro o cinco generaciones, la humanidad no volverá a contemplar éste fenómeno natural. [Fuente: Asustados, Misterios y leyendas]

Una mente veloz

Bogotá, 18 jul (EFE).- Sólo algunas milésimas de segundo tarda el colombiano Jaime García Serrano en responder qué día será, por ejemplo, el 4 de agosto del año 22.767, en qué cayó el 3 de febrero del 709 de nuestra era, o qué día de la semana fue en el que usted nació.
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Por algo es considerado "el matemático más rápido del mundo" y, sin embargo, tardó "casi cincuenta horas" en dar el resultado del numero irracional pi con 151.202 decimales, reconoció a Efe García Serrano.

El cálculo del pi (3,1416) fue logrado en enero de 2008 en la Universidad Complutense de Madrid, y es el sexto de los récords Guinness que ostenta el matemático y veloz 'calculista' colombiano, de 53 años, llamado también "la computadora humana".

El Concejo de Bucaramanga, ciudad del nordeste del país, capital del departamento de Santander, en el mismo territorio de su Málaga natal, concedió este viernes a García Serrano la "Orden al Mérito Educativo y Cultural".

García Serrano, que tiene su casa en Madrid, viaja por los cinco continentes durante casi todo el año y siempre, como "remate" de sus conferencias en aulas y ante los auditorios más heterogéneos, "es sometido a pruebas".

"Soy humano y también tengo mis fallos, pero rápidamente los corrijo y la mayoría de las veces nadie se da cuenta, sólo yo", admite el matemático en una entrevista telefónica con Efe desde Bucaramanga.

Miles de quienes le han escuchado en sus conferencias, con calculadora en mano, corroboran, en segundos e, incluso, minutos después, que las cuentas que García Serrano ha hecho mentalmente, son exactas.

En algunas de sus biografías en las miles de citas de su nombre y "hazañas" en Internet, se lee que García Serrano ha sido "descubridor de los métodos abreviados para resolver problemas por medio del cálculo mental".

Añaden que el colombiano "logró lo que nunca antes pudo otro ser en la tierra: demostrar que es más rápido que una computadora".

En sus conferencias recalca que sus métodos son la disciplina, el estudio y la búsqueda de algoritmos adecuados.

A ello se debe sumar "la práctica y la concentración", como medios para lograr dotes en los cálculos mentales por más difíciles que éstos sean.

García Serrano desarrolló varios "métodos abreviados" para resolver problemas por medio del cálculo mental.

También puede memorizar un número de más de 220 cifras con sólo mirarlo "de pasada" y recitarlo sin una sola equivocación, y realizar increíbles demostraciones de memoria visual y auditiva ante los auditorios.

El matemático ha revelado en distintos reportajes y sin misterios que cuando era niño se inició en el desarrollo de su destreza para los cálculos mentales.

Cuando estaba en la escuela, en Málaga, un pueblo montañoso de Santander, la maestra explicó un buen día a los alumnos en la clase de aritmética que, para multiplicar por diez, bastaba solamente agregar un cero a la derecha.

García Serrano dedujo entonces que si se podía simplificar la multiplicación por diez, en matemáticas deberían existir otros recursos que facilitaran todas las operaciones, y en poco tiempo deslumbró a sus compañeros y a sus profesores.

Pero en García Serrano el mérito no es sólo su memoria, pues es capaz de calcular, en pocos segundos, raíces cuadradas, exponenciales, senos y cosenos que, centenares de veces, han dejado con la boca abierta a miles de quienes le han visto y escuchado.

El matemático vive aterrado cómo los estudiantes de hoy no saben sumar ni multiplicar, amparados por las calculadoras, y considera que eso limita su desarrollo mental.

Para García Serrano, hay que ejercitar a diario, desarrollar el potencial en la mente humana.

Hace pocos días admitió para un periódico de su tierra que preparaba un nuevo registro Guinness, pues está en posesión ya de el de los calendarios del año uno al año un millón, y ya se siente "preparado para batirlo con un récord de un número de billones de años, un número de catorce cifras".

miércoles, 15 de julio de 2009

Acertijos: El problema del Reloj

Como mi reloj atrasa, el martes a las 16:50 en punto lo puse en hora y el jueves a la hora exacta del medio día marcaba 11:53:00. ¿Cuánto atrasa por día?...


SOLUCION


Desde el martes a las 16: 50 hasta el jueves a las 12:00, han pasado 43:10 horas
43:10 horas = 2590 minutos
En éste tiempo el reloj se ha retrasado 7 minutos.
24 horas equivalen a 1440 min.
Por una regla de tres simples, en 24 horas el reloj retrasa 3,89 minutos

domingo, 5 de julio de 2009

Problemas matemáticos: Caminando alrededor de la tierra.



Un hombre de 1,80 m. de estatura camina sobre el Ecuador y da así toda la vuelta a la Tierra.

Pregunta: ¿qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies?. ¿Y si lo hace sobre el ecuador de la Luna?.

SOLUCION


Longitud cabeza = 2 . PI . (R + 1,80)
Longitud pies = 2 . PI . R

Diferencia entre las longitudes = 2 . PI . 1,80 = 11,31 metros

Observación: Dando la vuelta a cualquier esfera, la respuesta es la misma.

Curiosidades numéricas

Curiosidad Nº1 :
111.111,111 X 111,111.111 = 12.345.678.987,654321

Curiosidad Nº2 :
2187 = (2 + 1^8)^7

viernes, 3 de julio de 2009

Acertijos matemáticos

Arañas y Escarabajos

En una caja hay arañas y escarabajos, en total son 8. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay? Acá va una pista: son 54 patas.
SOLUCION

Se trata de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Si sabemos que las arañas tienen 8 patas y los escarabajos 6, adoptando la siguiente nomenclatura
a= arañas
e= escarabajos
podemos plantear lo siguiente
1) a*8+e*6=54 patas
2) a+e=8
despejando e en 2) nos queda
3) e=8-a
Ahora, reemplazando el valor de e obtenido en la ecuación 1) nos queda lo siguiente:
8a+(8-a)*6=54
operando
8a+48-6a=54
despejando a y operando
8a-6a=54-48
2a=6
a=3
Es decir que hay 3 arañas por consiguiente los escarabajos son 5
Verificamos
3*8+5*6=54
24+30=54
54=54)


El Campeonato de Tenis



En un campeonato de tenis individual participaron 111 jugadores. Cada partido se jugó con una pelota nueva y fueron quedando eliminados los jugadores que perdían. ¿Cuántas pelotas se usaron?

El conserje vivo

Juan pasó la noche en un hotel y a la mañana siguiente pagó $1500 y subió a la habitación a preparar su equipaje. Entonces el encargado se da cuenta que cobró $500 de más así que envía al conserje con 5 billetes de $100 a que devuelva la diferencia a Juan. El conserje, se hace el vivo y le da a Juan 3 de los billetes y se queda con 2. A fin de cuentas Juan ha pagado $1200 y $200 al conserje, en total $1400. ¿Dónde están los $100 de diferencia?



SOLUCION

En realidad Juan pagó $ 1500 – $ 300 que le devolvieron = $ 1200. El conserje se quedó con 2 billetes, o sea $ 200 y el encargado se quedó con $ 1000. (1000 del encargado más 200 del conserje son los $ 1200 que pagó Juan)

No hay diferencia porque esto está mal “A fin de cuentas Juan ha pagado $1200 y $200 al conserje, en total $1400″, en realidad la suma de 1200 más 200 está mal, los 200 están considerados dentro e los 1200.

Humor Matemático

La risa y el humor son componentes esenciales para la salud! Al menos así lo dicen algunas investigaciones científicas. Por ese motivo mezclaremos matemáticas y humor en ésta recopilación de imágenes graciosas.









jueves, 2 de julio de 2009

Los juegos y las matemáticas

Tres juegos muy divertidos y con explicacon matemática...

Paradojas matemáticas 1=2

Se llaman paradojas matemáticas ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas, pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o, aún, una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto.

Ejemplo: 1 = 2.










Demostremos a continuación, como se llega a ésta paradoja!!!


Sean dos números iguales, a y b ; escribimos: b = a.
Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por el mismo número a , tenemos:

b x a = a 2

restando a ambos miembros el mismo número b 2 , resulta,

b x a b 2 = a 2 b 2
que puede escribirse así:
b x ( a b ) = ( a + b ) x ( a b )

Dividiendo los dos miembros por ( a b ), tenemos,

b = b + b , o sea, b = 2 b, de donde, 1 = 2.

Este resultado paradojal se explica fácilmente. En efecto, pueden dividirse los dos miembros de una igualdad por un mismo número con la condición que ese divisor sea diferente de cero . Pero en el ejemplo tratado hemos dividido los dos miembros de una igualdad por ( a b ) que, por hipótesis, es una cantidad nula, operación ilícita que nos condujo al resultado absurdo: 1 = 2.

Asombrosas Curiosidades Matemáticas

jueves, 4 de junio de 2009

Bibliografías: Jules Henri Poincaré

Jules Henri Poincaré (Nancy, Francia, 29 de abril de 1854 – París, 17 de julio de 1912), generalmente conocido como Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia. Poincaré es descrito a menudo como el último «universalista» (después de Gauss) capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. En 1894 descubrió el grupo fundamental de un espacio topológico.

En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a Albert Einstein y H. Lorentz, la Teoría de la Relatividad restringida (también conocida como Relatividad especial). La conjetura de Poincaré es uno de los problemas recientemente resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés hasta que comenzó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963.

En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos. Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos de la mecánica celeste (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste), publicados entre 1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste (Léçons de mécanique céleste, 1905). También escribió numerosas obras de epistemología, propedéutica, metodología y divulgación científica que alcanzaron una gran popularidad, como Ciencia e hipótesis (1901), Ciencia y método (1908) y El valor de la ciencia (1904).

Demostraciones: 0! = 1

Por definición:

n! = n . (n-1)! => n! / n = (n-1)!

Si n = 1 => 1! / 1 = (1 - 1)! => 1 = 0!

Acertijos Matemáticos : Dos 3 y dos 8

Usando los numeros 3 , 3 , 8 y 8 y con las operaciones basicas ( suma , resta, multiplicacion y division) consigue como resultado 24

Nota : no hay trucos , hay que usar el 3 y el 8 dos veces ( no vale 3 x 8) , ningun numero más , no hay otras operaciones y no se pueden unir numeros ( por ejemplo 38 ).

Tiene una solucion ( no sé si es unica) muy ingeniosa y matematica.

SOLUCION

(8/3-(8/3))

Kruskal ¿magia o matememáticas?

A continuación vas a ser todos vosotros partícipes de mis poderes mentales. En primer lugar elegid una palabra de entre las que componen la primera frase de esta entrada y poned el cursor encima. Contad el número de letras que tenga esa palabra y ahora avanzad tantas palabras como número hayáis obtenido. Por ejemplo, si elegís como palabra inicial "vais", que tiene cuatro letras, entonces la siguiente palabra a la que llegaréis será "vosotros". Volved a realizar el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar al final del primer párrafo, o lo más cerca del final que podáis llegar sin pasar al segundo. ¿Lo habéis hecho ya? Entonces estaréis justo AQUÍ.

Como dirían Trancas y Barrancas: ¡Brujeríaaaaaaaaa! Si no te lo crees, elige otra palabra y vuelve a realizar el proceso. ¿Dónde llegas? ¡Al mismo sitio! y lo que es peor, ¡por el mismo camino! Elijas la palabra que elijas, tarde o tenprano vas a seguir el camino de palabras en cursiva para llegar, irremediablemente, a la palabra final del primer párrafo.

En realidad, elijas el párrafo que elijas, de este artículo, blog, o de donde sea, si realizas este mismo proceso, siempre llegarás a la misma palabra final, que, eso sí, no siempre será la última del párrafo, pero da igual la palabra en la que comiences, que la del final (casi) siempre será la misma.

Como bien podréis imaginar, esto no es ni magia, ni brujería, ni poderes para-anormales. Se trata, como bien dijo Steffen Rohde2, de un lema matemático, o mejor dicho, un principio probabilístico debido al matemático y físico estadounidense Martin D. Kruskal.

El truco consiste en que, como a lo mejor ya te has dado cuenta, cuando 2 series de este tipo coinciden en una palabra, a partir de ahí, las series son la misma. La cuestión es, pues, saber si tarde o temprano, todas las posibles series convergen (no en el sentido de serie matemática) en una misma palabra. La respuesta es que no tiene porqué. Pero la probabilidad de encontrar una palabra inicial que haga que la serie encontrada sea rara (es decir, que no encuentre a otra serie) tiende a cero a medida que el número total de palabras del párrafo tiende a infinito. Es decir, que mientras más grande sea el párrafo, más difícil será que seamos capaces de encontrar una palabra que haga que nuestro juego falle.

En realidad este truco con el párrafos y letras se conoce desde hace mucho tiempo en el mundo de la cartomagia o magia con cartas como La Cuenta Kruskal. Basta con asignar a cada carta su valor numérico (las figuras, también), poner todas las cartas en fila (o en forma de tabla, da igual), elegir una carta de inicio e ir avanzando tantas cartas como su valor marque, y así sucesivamente. En una baraja francesa (52 cartas) en la que se le asigna a la J el valor 11, a la Q el 12 y a la K el 13, la probabilidad de fallo es de, aproximadamente, 33%; sin embargo si asignamos a todas las figuras el valor 10, entonces la probabilidad de fallo se reduce al 29%; y, finalmente, si asignamos el valor 5 a cada figura, la probabilidad de fallo es de apenas un 16% (cf. referencia 3). Por cierto, que la probabilidad de fallo es, en realidad, la probabilidad de que se coloquen las cartas de tal forma, que sea posible encontrar al menos 1 carta inicial que no llegue a la carta final típica. Es decir, que en el primero de los casos, en 1 de cada 3 formas de colocar las cartas es posible encontrar un inicio que haga que el truco falle, mientras que en las otras 2 de cada 3, todas las cartas te llevarán irremediablemente al mismo final: tu Destino está escrito.

Como podréis comprobar, mientras más pequeños sean los valores numéricos, parece que más fácil será que el truco funcione, así que ya sabéis, o bien usad cartas de valores pequeños, o bien utilizad fragmentos de texto que contengan pocas palabras largas. Afortunadamente, parece que esto es mucho más sencillo.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Puedes encontrar una versión interactiva de este truco en la web Proceedings of the Organics Mathematics Workshop, haciendo que todas las figuras tengan valor 1.

Extraído de : Eliatron

sábado, 4 de abril de 2009

Juegos de Ingenio : El Tangram

Origen del Tangram:


El Tangram es probablemente el rompecabezas más antiguo que se conece. Es de origen chino y se sabe que se utilizaba hace más de dos mil años.

Composición del juego:


Consta de siete piezas simples, un cuadrado, cinco triángulos rectángulos (dos grandes, dos pequeños y uno mediano) y un romboide. Con esas siete piezas se pueden construir numerosas figuras reconocibles, que representan animales, objetos, personas, signos...

Forma de Juego:


La forma más habitual de jugar consiste en reconstruir una figura dada usando las siete piezas del Tangram, sin que se superpongan unas a otras. Con esto conseguimos introducir conceptos de geometría plana




viernes, 3 de abril de 2009

Juego de Sumas Rapidas

Para ganarle al sabueso debes sumar rápido. Los dos primeros niveles son más fáciles, pero el tercero... Compruebalo tu mismo.











Juego obtenido en : Jugar Gratis

sábado, 28 de marzo de 2009

La historia del número cero

El número cero



Los primeros en utilizar un símbolo que representara el cero fueron los babilonios. Las tabletas de arcilla que se encontraron, que se remontan al año 200 A.C., dan cuenta del empleo de este símbolo. En Europa, el cero fue introducido recién en los siglos IX o X de nuestra era.

En la escritura de números, los babilonios introdujeron el sistema posicional, en el que se basa el sistema decimal. El valor de cualquier dígito depende de su posición en el número. Ya en el año 2500 A.C. los babilonios poseían vastos conocimientos matemáticos. Fue recién en el siglo IX de la Era Cristiana que este sistema se introdujo en Europa.

Nuestro conocimiento de las matemáticas griegas se remonta hacia el año 600 A. C. aproximadamente. Cuando Tales, uno de los siete sabios de Grecia, introdujo el estudio de la geometría.

Los egipcios establecieron un sistema de medidas basado en el cuerpo humano. La unidad principal era el codo, la distancia que lo separaba de las puntas de los dedos -equivalente a 46 cm. aproximadamente-.

Bibliografías: John Forbes Nash

John Forbes Nash Jr. (Bluefield, Virginia Occidental, 13 de junio de 1928) es un matemático estadounidense. Recibió el Premio Nobel de Economía de 1994[1] por sus aportes a la teoría de juegos y los procesos de negociación, junto con Reinhard Selten y John Harsanyi.

Infancia

Johnny Nash, así le llamaba su familia, nació en Bluefield Sanatorium el 13 de junio de 1928 y fue bautizado en la iglesia Episcopaliana. Fue un niño solitario, le gustaban mucho los libros y jugar muy poco con otros niños. Su madre, Margaret Virginia Martin, estudió idiomas en las universidades de Virginia Occidental y el Colegio Martha Washington; ella le estimuló en los estudios, enseñándole directamente y llevándole a buenos colegios. Su padre, John Forbes Nash senior nació en Texas en 1892, estudió ingeniería eléctrica, luchó en la Primera Guerra Mundial y fue durante un año profesor en la Universidad de Texas.

Desde niño, su comportamiento reveló su extraordinaria capacidad intelectual y sus dificultades para relacionarse con los demás. A lo largo de su vida, su mayor característica fue un egocentrismo que le incapacitó para comprender a los demás seres humanos y que le impidió relacionarse con éstos en términos de igualdad. A los catorce años Nash empezó a mostrar interés por las matemáticas y la química. Parece ser que influyó la lectura del libro de Eric Temple Bell, "Men of Mathematics" (1937). Entró en el Colegio Bluefield en 1941.

Periodo de estudios

Nash ganó una beca en el concurso George Westinghouse y entró en junio de 1945 para estudiar ingeniería química por el Instituto de Tecnología "Carold Narazi" (hoy en día Carnegie Mellon). Sin embargo, empezó a destacar en matemáticas, y su profesor le convenció para que se especializara en ellas. En 1948 aceptó una beca de la Universidad de Princeton, para realizar sus estudios de doctorado en matemáticas. La carta de recomendación escrita por su profesor R. J. Duffin tenía sólo una línea: "Este hombre es un genio".

Periodo universitario

En Princeton trabajaban en ese momento genios como Einstein o Von Neumann, lo que hizo aumentar su ansia por destacar, por superarse a sí mismo y a los demás y por obtener reconocimiento. Inventó un juego matemáticamente perfecto, en el cual se basa el actual Hex. En 1949, propuso el sistema de equilibrio de mercados vigente en la actualidad, rebatiendo las teorías de Adam Smith.

A los ventiún años, en 1950, se doctoró con una tesis de menos de treinta páginas sobre "juegos no cooperativos", bajo la dirección de Albert W. Tucker. Esta tesis contenía definiciones y propiedades de lo que más tarde sería denominado como "el equilibrio de Nash", y tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas.

Luego de ello, Nash comenzó a trabajar para la RAND, una institución de las fuerzas aéreas dedicada a la investigación estratégica. En el verano de 1954, John Nash fue arrestado en una redada de la policía contra homosexuales. Como consecuencia de ello, fue expulsado de la RAND Corporation. Nash se casó con una alumna suya del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), Alicia Lardé, Salvadoreña. Un año después de su matrimonio, en 1958, le fue diagnosticada esquizofrenia, cuando la enfermedad era ya muy manifiesta, aunque posiblemente llevaba años desarrollándose. Ya en su infancia tenía una personalidad extraña y poco sociable. En 1959 fue internado por la enfermedad y poco después nació su hijo, John Charles Martin. Nash y Alicia se divorciaron en 1963, reuniéndose en 1970, si bien, según declaraciones de Alicia, en una relación no romántica. Finalmente la pareja renovó su relación después de que Nash recibiera el Premio Nobel de Economía en 1994 y se volvieron a casar el 1 de junio de 2001.

Docencia universitaria

En 1959, tras estar internado durante cincuenta días en el Hospital McLean, viajó a Europa, donde intentó conseguir el estatus de refugiado político. Creía que era perseguido por criptocomunistas. En los años siguientes estaría hospitalizado en varias ocasiones por períodos de cinco a ocho meses en centros psiquiátricos de Nueva Jersey. Sus teorías han influido en las negociaciones comerciales globales, en los avances en biología evolutiva y en las relaciones laborales nacionales. Varios años después, Nash consiguió regresar a la universidad. Actualmente imparte clases de matemáticas.

Fuente: Wikipedia

miércoles, 25 de febrero de 2009

El problema de los Barriles.

Dos viajantes van vendiendo vino por los pueblos. En su furgoneta llevan 3 barriles: Uno de 8 litos lleno de vino y otros dos vacíos de 3 y 5 litros de capacidad. A mitad del camino se pelean y deciden repartir el vino en partes iguales, pero solo disponen de los barriles citados. ¿Como podrán hacerlo?.

Dicho de otra forma; Cuantas veces crees que será necesario trasvasar el contenido de un barril a otro para que cada viajante se quede con 4 litros de Vino.

Yo obtuve un resultado luego de trasvasar el vino 6 veces - Posiblemente no sea la única solución y tal vez no es la más corta pero el gráfico salió muy bonito:


Te animas a contarnos tu solución?...

lunes, 23 de febrero de 2009

Glosario Matemático: El número de Oro

El número aureo o de oro (también llamado número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega ? (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:




Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más cortob.

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Así mismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

El número phi en la arquitectura.

Es incontable la cantidad de obras arquitectónicas de todops los tiempos en los que se hace presente el número de Oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2?. La pirámide de Keops mide 230 metros de lado, la base de la pirámide es cuadrada.

AC = 230/2 = 115

?? ? 1.272

AB = ?? –> ?? x 115 ? 146,28 que son los metros de altura de la pirámide de Keops.

BC = ? x 115 ? 186,07 metros desde el centro de un lado de la base hasta el pico de la pirámide.

Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre. 100 x ? x 2 ? 323,61 metros que es la altura de la torre.

También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el dibujo donde el espacio azul seria igual a uno y Phi seria el espacio azul más el dorado.


El creador del Partenón (Debajo) fue Phidias. En realidad, el número de oro se llama Phi en su nombre, y la abreviatura Ø corresponde a la inicial de Phidias en griego.

La fachada del partenón es un perfecto rectángulo de oro, pero además, hay otra serie de medidas en el edificio que también poseen proporciones áureas:

En la foto están marc ados los rectángulos áureos: ABCD, AEGH, AEBF, y sus simétricos. Además, la zona de las molduras (en color violeta) también está compuesta por rectángulos áureos.

La razón áurea y el Arte.

El rosotro de la Gioconda, pintada por Leonardo, se encuadra en un rectángulo áureo. [Razón áurea en la Gioconda]

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.


En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

Phi en la música.

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Caracteristicas de la Sonata Nº1 para piano de Mozart:

  • El segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero
  • Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315
  • Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 / 28 = 1.6428

Aunque no sabemos con precisión que Beethoven estuviera al tanto de ésto, pero en su Quinta Sinfonía, distribuye el tema siguiendo la sección áurea. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella.

Los músicos de jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoría de escalas, armonía y formas que usan habitualmente, pero igual producen obras armoniosas.

El Piano:El piano está constituido por siete octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas.

Así, los primeros seis números de la Sucesión de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras ( en grupos de 2 y 3).

La Razón Aurea en la Naturaleza.

Podemos establecer una relación con Phi en la distancia de los diferentes planetas del sistema solar al sol, en las semillas del girasol, en las proporciones morfológicas de una abeja, en la temperatura corporal de los animales y en una infinidad de fenómenos naturales. A continuación y por cuestiones de espacio, solo detallaremos una de éstas relaciones del número de oro con la naturaleza.

La imágen anterios es unaconcha de Nautilo. Si del rectángulo áureo ABCD extraemos el cuadrado AEFD nos queda otro rectángulo áureo EBCF, a este le extraemos el cuadrado EBHG tenemos otro rectángulo áureo GHCF y así podríamos seguir hasta el infinito.

Si a partir de estos cuadrados resultantes trazamos una curva que empieza por D hasta E con centro F después de E con centro G hasta H, aquí también podríamos seguir hasta el infinito, conseguimos una espiral logarítmica que se puede encontrar en la naturaleza en plantas y en animales, como en la concha de los nautilos.

El núero de Phidias en la vida cotidiana. La Razón Aurea.

El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

Artículo extraído de : El número de Oro; La Razón Aurea.

Aprender algebra jugando.

Existen numerosos juegos de adivinanza en los que se utilizan herramientas matemáticas como base teórica para su construcción. Muchos de éstos juegos, emplean operaciones algebráicas en las que las incógnitas se cancelan, pudiendo así determinar a priori el resultado del problema.

Veamos un caso práctico para comprender mejor como funciona éste método:

Pedimos a nuestros alumnos que realicen las siguientes operaciones:

1) Piensa un número cualquiera.
2) Multiplícalo por 2.
3) Al resultado súmale 9.
4) Al resultado súmale el número que pensaste.
5) Al resultado divídelo por 3.
6) A lo que quedó súmale 4.
7) Al resultado, réstale el número que pensaste.

El resultado de aplicar éstas operaciones es siempre 7 independientemente del número elegido.

Demostración:

Los datos anteriores se pueden expresar en lenguaje algebráico de la siguiente manera:

1) Piensa un número cualquiera. X
2) Multiplícalo por 2. 2X
3) Al resultado súmale 9. 2X + 9
4) Al resultado súmale el número que pensaste. 2X + 9 + X
5) Al resultado divídelo por 3. 2X + 9 + X / 3
6) A lo que quedó súmale 4. (2X + 9 + X / 3) + 4
7) Al resultado, réstale el número que pensaste. [(2X + 9 + X / 3) + 4] - X

Si resolvemos las operaciones matemáticas planteadas, veremos que las X se cancelan y el número resultante es 7

[(2X + 9 + X / 3) + 4] - X = [(3X + 9 / 3) + 4] - X = X + 3 + 4 - X = 7

Luego de probar con varios números y ver que siempre se cumple dicho resultado, podemos incentivar a nuestros alumnos a descubrir una expresión general que sirva para cualquier número pensado.

Adivinando el pensamiento; Otros problemas similares:

Juego A

1) Piensa un número.
2) Súmale 10
3) Multiplícalo por 2
4) Súmale el doble del dinero que llevas en la billetera
5) Réstale 10
6) Divídelo por 2
7) Réstale el número que pensaste
8) Réstale el dinero que llevas en la billetera.

Respuesta 5


Juego B

1) Piensa un número
2) Multiplícalo por 3
3) A lo que quedó súmale 14
4) Al resultado súmale el número que pensaste
5) A lo que quedó réstale 2
6) El resultado divídelo entre 4
7) A lo que quedó réstale 3

Respuesta: Es el número que pensaste

domingo, 22 de febrero de 2009

Widgets Matemáticos: Calculadora online

Les traigo ésta pequeña calculadora en formato swf, realizada en Flash MX. Por ahora solo tiene operaciones básicas. Suma - Resta - División - Multiplicación - Memoria - Borrar. Esperemos que la próxima entrega de "calculadora" tenga algunas funciones más. Para utilizarla como widget solo debes copiar y pegar el siguiente código en tu blog.

Calculadora 1.0 - en Flash MX




Copia y pega el siguiente código en tu web:

Curiosidad matematica



sábado, 21 de febrero de 2009

La Leyenda del Juego del Ajedrez : Series Exponenciales

La leyenda del Ajedrez.



Circulan muchas leyendas acerca de su origen y diferentes países se atribuyen su invención. Hoy se cree que el ajedrez constituye una evolución del juego de mesa llamado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, ideado en la India en el siglo VI. [Ver Evolución del Ajedrez].

Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de su verdadero origen, existe una leyenda muy entretenida.

Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un jóven llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan encantado con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la primer casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa:

¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!

De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una variación de la historia sugiere que el Rey furioso por ésta situación mandó a decapitar al joven inventor, pero hay quienes evitan contar éste final infelíz y se contentan con explicar los elementos matemáticos que están presentes en el relato.

Solución:

Veamos comos se realiza la cuenta del pedido de Sissa.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ... + ...


El último sumando es siempre el doble que el número anterior.
Esto se puede expresar como una suma de potencias de base 2:

1 + 2 + 2^2 + 2^4 + 2^3 + ... + 2^62 + 2^64


Donde 2^x "significa 2 elevado a la x"

Al realizar ésta cuenta, el resultado es una gran cantidad de granos:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo


Si; más de 18 billones de granos de trigos.

Jugar Ajedrez en línea.


Flash Chess 3 es un sitio web que ofrece la posibilidad de jugar ajedres de forma online contra un programa realizado en Macromedia Flash. Podemos elegir entre varias opciones de juego: Avanzado, Casual y Novato, adecuando así el nivel a nuestros conocimientos. El sitio ofrece como alternativa la posibiliad de descargar el juego completo con numerosas características adicionales.


Yahoo Juegos, nos ofrece la posibilidad de jugar en línea con otros ajedresistas de todo el mundo y así medir nuestro nivel de juego. Para jugar, nuestra PC debe tener instalado un software especial que se puede descargar desde Java de Sun Microsistem de forma gratuita. Los jugadores son rankeados por sistema de puntos Elo que es el método para calcular la fuerza relativa de los jugadores a nivel mundial.

Otra alternativa, si tenemos con quien jugar, pero nos hemos olvidado el tablero y las piezas de ajedrez es éste programa especialmente creado para dos jugadores. Juegos Diarios : Ajedrez para dos jugadores.

viernes, 20 de febrero de 2009

La suma de los 100 primeros números

Cuenta la historia que en el año 1787, cuando Carl Friedrich Gauss tenía apenas 10 años, un alboroto en el aula del colegio provocó que el maestro enojado, pidiera a los alumnos que sumaran todos los números del 1 al 100. Creyendo que el castigo sería tenerlos a todos un buen rato ocupados.

A los pocos minutos, Gauss se levantó del pupitre, y le entregó el resultado de la suma al profesor : 5050. El profesor, asombrado y seguramente creyendo que su alumno había puesto un número arbitrariamente, se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma daba como resultado 5050.

¿Como hizo Gauss para resolver la suma en tan pocos minutos?. Si no se tratara de un problema matemático, seguramente creeríamos que el joven niño contaba con algún tipo de poder paranormal. En efecto, el poder más brillante a veces se encuentra en la razón.

Sucede que Gauss hizo lo siguiente:

Como debía sumar los números del 1 al 100; Es decir:


1+2+3+4+5+6+……………..+97+98+99+100.


Observó por un momento la secuancia de números y descubrió que si sumaba el primero con el último, el segundo con el anteúltimo y así sucesivamente obtenía siempre el mismo resultado:


(1+100) = (2+99) = (3+98) = …. = (50+51) = 101


Luego, y como entre el número 1 y el 100 tenía 50 pares de números, solo restaba multiplicar por 50 el resultado obtenido.


50 x 101 = 5050.


Mas tarde, Gauss aplicaría el mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.

Extraído de : Asustados : La suma de los 100 primeros números

Curiosidades Matemáticas : La Herencia de los Camellos

Un jefe árabe dejó en herencia 17 camellos para sus tres hijos, de modo que tenían que repartírselos del siguiente modo:

La mitad para el mayor de los tres hijos.

La tercera parte para el mediano.

La novena parte para el más pequeño de los tres.

Ante la imposibilidad de hacer el reparto de los camellos, acudieron al Cadí. Se trataba de un hombre justo, generoso y un buen matemático.

¿Cómo afrontó el Cadí la situación?


Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el total de camellos a repartir. Así al mayor de los tres hermanos le correspondió 9 camellos, al mediano, 6 y al pequeño 2. Pero con esto sobró 1 camello, que naturalmente devolvieron al Cadí llenos de agradecimiento y admiración por su sabiduría.

Pero... ¿Como es posible?


Este curioso resultado proviene de ser la suma: 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18
menor que la unidad. De modo que el reparto de los 17 camellos entre los tres herederos no se habría hecho por completo; hubiera sobrado 1/18 de 17 camellos.
Habiendo aumentado el dividiento a 18, el sobrante resultó entonces 1/18 de 18 camellos.

Idea extraída de "Hombre que Calculaba" de Malba Tahan.

miércoles, 18 de febrero de 2009

Juego de sumas

El siguiente es un juego matemático muy entretenido, parecido al sudoku, que consiste en colocar los números de la izquierda en la cuadrícula hasta hacer desaparecer todos los números que conforman la misma. Este tipo de juegos suelen resultar muy útiles para entrenar nuestra mente en operaciones matemáticas básicas; En éste caso particular, la Suma de números.

Reglas del Juego

Para hacer desaparecer éstos números debemos seguir un procedimiento bastante simples. El número que colocamos debe ser igual a a la suma exacta de los números colindantes y si la suma fuera de dos dígitos el número colocado deberá ser igual al segundo dígito de la misma.

Por ejemplo, si debemos colocar un 8, una posible solución puede ser, ubicarlo colindante a los números 1, 3 y 4, como lo muestra la imágen de la izquierda o también ponerlo al lado de los números 6, 4 y 8 cuya suma es 18, entre otras tantas combinaciones posibles.

El cero puede ser colocado al lado de los números 3, 2 y 5 que dan 10, o al lado de otros números cuya suma sea igual a 10, 20, 30,... Ya que terminan en 0.

 
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