Probabilidades: Cara o Cruz?

Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”. Veamos como la siguiente anécdota justifica esta descripción.

Dos estudiantes de Instituto intentan ponerse de acuerdo en como pasar una tarde. Acuerdan que tomarán su decisión lanzando una moneda. Si sale cara irán al cine, si sale cruz saldrán a tomar una gaseosa y si la moneda cae de canto, estudiarán.

La historia no es tan trivial como pueda parecer, con ella podemos aprender mucho. El sentido común, basando su juicio en la experiencia, nos indica que los estudiantes quieren saltarse la necesidad de estudiar. En otras palabras sabemos intuitivamente que la moneda no caerá de canto, que lo hará sobre la cara o sobre la cruz. Más aún, si la moneda es legal, tenemos la certeza moral de que las posibilidades de que salga cara o cruz son las mismas.

Pues bien la teoría de la probabilidad se basa en la asunción que hacemos de cuestiones tales como estas : ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga sobre el borde? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz?

Para poder tratar estas cuestiones desde un punto de vista matemático, es necesario asignar valores numéricos a cada una de la probabilidades involucradas.

Supongamos por el momento que denotamos por p el valor numérico de la probabilidad de que al lanzar una moneda, salga cara. Puesto que es igualmente posible que al lanzar la moneda, salga cruz, la probabilidad de que salga cruz también debe tener asignado el valor p.

Como tenemos la certeza de que saldrá cara o cruz sigue que 2p debe ser el valor asignado al suceso seguro, el que ocurrirá siempre que lancemos una moneda al aire. Podemos elegir cualquier valor que nos plazca para el suceso seguro. Es costumbre elegir el valor 1. Esto es: asumimos que 2p=1. Entonces la probabilidad de que la moneda muestre cara es : 1/2 ; la probabilidad de que muestre cruz es : 1/2; y la probabilidad de que salga cara o cruz es:

Si analizamos detalladamente el ejemplo, podemos apreciar :

Un experimento aleatorio, lanzar una moneda al aire

Unos resultados puntuales, sale cara o sale cruz y no podemos tener la certeza de antemano de que sea cara o sea cruz.

Unas asignaciones de probabilidad a cada uno de los resultados, que se basan en el sentido común y en nuestra experiencia previa.

La ley de los Grandes Números

Anteriormente hemos fijado la probabilidad de que salga cara o cruz en 1/2. Existe otra manera de calcular esta probabilidad. Esta manera consiste en realizar el experimento de lanzar muchas veces la moneda e ir anotando en cuantas de éstas oportunidades salió cara y en cuantas otras salió cruz.

La siguiente herramienta didáctica te puede ayudar a lanzar la moneda muchas veces de manera aleatoria:



Lanzando una cantidad de veces suficiente la moneda, veremos como el número de caras y de cruces se va igualando. Podemos deducir entonces que para un nº lo suficientemente grande la probabilidad de este evento es 1/2 (0,5)