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miércoles, 11 de mayo de 2011

La prueba del nueve

Hace tiempo se enseñaba en los colegios una curiosa forma de comprobar si el resultado de una división que uno ha hecho a mano es correcto. Se llama "la prueba del nueve", y la encontré en la "enciclopedia escolar" que usaba mi padre como libro de texto en segundo grado cerca del año cincuenta y cuatro o cincuenta y cinco. En ella, aparte de cosas edificantes sobre urbanismo como que "el saludo en cualquier circunstancia debe iniciarlo el inferior" aprendemos el siguiente método.

Digamos que hemos hecho una división de números enteros positivos, por ejemplo 8.058 entre 237. Hemos obtenido 34 (exacto, sin resto) y queremos comprobar que está bien. Desde luego, podemos multiplicar 34 por 237 y ver si da 8.058, pero para números grandes eso es largo y pesado, así que es útil disponer de una forma más rápida. La prueba del nueve consiste en tomar el número inicial, aquí 8.058, y sumar sus cifras, y hacerlo de nuevo hasta que quede una sola cifra: 8+0+5+8=21, 2+1=3. Nos quedamos con el tres y hacemos lo mismo con los otros dos números, el divisor y el supuesto cociente:

2+3+7 = 12, 1+2 = 3
3+4 = 7

Ahora multiplicamos los dos números de una cifra que acabamos de obtener, 3 y 7, y repetimos el proceso:

3x7 = 21, 2+1 = 3

Como da tres, que es lo mismo que obtuvimos al realizar el proceso con el dividendo (8.058), la prueba es correcta para esta división. Si obtenemos algo distinto la prueba dice que la división está mal.

Un segundo ejemplo: 836.652 entre 678. Creemos que da 1.244. ¿Es verdad?

836.652: 8+3+6+6+5+2 = 30, 3+0 = 3
678: 6+7+8 = 21, 2+1 = 3
1.244: 1+2+4+4 = 11, 1+1 = 2

Como 3x2=6, que no es el primer 3 que obtuvimos, la prueba dice que la división está mal (el resultado correcto es 1.234, con el cual la prueba sí funciona).

Por algún motivo, al hacer la prueba en un papel solían escribirse los números dentro de los huecos que quedan al hacer dos trazos formando una X (los tres que se obtienen de dividendo, divisor y cociente y el de multiplicar divisor por cociente). Recuerdo que de pequeño cuando ya estaba harto de multiplicar números para ver si las divisiones de los deberes estaban bien, mi padre me enseñó esta forma de comprobarlo. Al día siguiente se lo enseñé al profesor en clase, y me dijo que "bueno, está bien, pero es mejor que hagas las multiplicaciones para aprender". Pienso que es justo al revés: primero, esta prueba enseña que pueden inventarse formas más interesantes de hacer las cosas, y además tiene cierto misterio si uno se pregunta por qué debería funcionar. Si uno se pregunta eso, enseña mucho más que todas la multiplicaciones y divisiones que puedas hacer.

¿Y por qué funciona? De hecho, ¿cómo sabe uno que funciona?. ¿Siempre que la prueba sale bien la división es correcta? ¿siempre que sale mal está mal la división?. ¿Puedes modificar la prueba para divisiones que no sean exactas (con resto)?

Solución:


Primero debemos fijarnos en una particularidad de los múltiplos de 9: sus cifras siempre suman 9 o un múltiplo de 9, de forma que si volvemos a sumar las cifras de la suma y repetimos el proceso alguna vez se obtiene 9. Por ejemplo, 7.364.556 es múltiplo de 9 y 7+3+6+4+5+5+6 = 36, 3+6 = 9.
    Para los que no lo son, al reducirlos de igual forma a un número de una sola cifra obtenemos el resto de dividirlos entre 9. Por ejemplo, 64.735 = (7.192 x 9)+7, y 6+4+7+3+5 = 25, 2+5 = 7.
    En una división sabemos que dividendo = divisor x cociente; ésta es la prueba real para comprobar si está bien la operación.
    Si en una división expresamos el divisor como un múltiplo de 9 (llamémosle D) más un resto R y cociente como otro múltiplo de 9 (C) más otro resto S:
divisor = D+R
cociente = C+S,
al multiplicarlos obtendremos la siguiente expresión:
DxC + DxS + RxC + RxS.
    Si reducimos esta expresión a una sola cifra como hemos explicado anteriormente, obtendremos el resto de dividirla por nueve (o nueve si es divisible por nueve); como tanto DxC como DxS y RxC son múltiplos de nueve, bastará con reducir a una sola cifra RxS y el resultado que obtengamos deberá ser igual a la reducción a una sola cifra del dividendo.
    Esto no significa que la prueba del nueve sea infalible: basta alterar el orden de dos cifras en el ejemplo del enunciado para comprobar que aunque la prueba nos indica que la operación es correcta en realidad no lo es: ¿8.058 : 34 = 273?
    Sin embargo, si la prueba no se cumple sí podemos afirmar que nos hemos equivocado en la operación.
    En cuanto a una división con resto, basta reducir éste a una cifra, sumarlo al producto reducido del cociente por el divisor y comparar esta suma con el dividendo reducido:
8.060 = (34 x 237) + 2
8+0+6+0 = 14, 1+4 = 5
3+4 = 7
2+3+7 = 12, 1+2 = 3
7x3 = 21, 2+1 = 3
3+2 = 5
    He elegido esta respuesta porque me parece clara y simple, y porque no requiere ningún conocimiento especial de matemáticas. Sin embargo, ¿cómo sabemos que al sumar las cifras de un múltiplo de nueve se obtiene un múltiplo de nueve? ¿Y cómo sabemos que sumando las cifras de otros números repetidamente finalmente se obtiene el resto de dividirlos por nueve? Uno puede convencerse de esto probando aquí y allá y viendo qué ocurre con las cifras de un número al sumar nueve: 36, 45, 54, 63, 72... ¿veis alguna regularidad?. El que esto pase siempre parece casi mágico. ¿Es una casualidad? ¿Es parte de algún principio más general?
    Una forma de entender por qué ocurre lo anterior y por qué funciona la prueba del nueve es usar el concepto que en matemáticas se conoce como congruencia, como ahora explicaremos. Sólo entonces se nota cierta estructura general que resulta muy útil en una gran cantidad de problemas. Si ya sabes lo que son las congruencias, puedes leer directamente la respuesta de Federico Zapata más abajo, o la de Pedro Rupin (PDF), completa y más técnica.
Congruencias de números enteros
    Tomemos el siete, por ejemplo. Si digo que un número es congruente con otro módulo siete, lo que quiero decir es que los dos números dan el mismo resto al dividirlos por siete: 12 es congruente con 26 módulo 7 porque tanto 12 como 26 dan de resto 5 al dividirlos por 7; pero 9 no es congruente con 35 módulo 7. La definición análoga vale para otros números que no sean el siete, claro (he cogido el siete simplemente para poner ejemplos concretos). Dado cualquier número, los números que son congruentes con él módulo siete van "de siete en siete": 5, 12, 19, 26, 33... son todos congruentes módulo siete.
    La gracia de esto es que uno puede hacer sumas, restas y multiplicaciones "módulo algo". La idea fundamental es que
Si a es congruente con A módulo M y b es congruente con B módulo M, entonces
1) a+b es congruente con A+B módulo M
2) a-b es congruente con A-B módulo M
3) a x b es congruente con A x B módulo M
    No vamos a demostrar esto aquí, pero si queréis pensarlo, el razonamiento en la respuesta de Óscar Zunzarren puede daros alguna pista. ¿Qué queríamos decir con lo de "hacer cuentas módulo 7"? Supongamos que tenemos dos números a, b, y que por algún motivo lo que
nos interesa es saber el resto de a+b al dividirlo por 7. Usando lo anterior sabemos que en lugar de a y b podemos poner dos números A, B congruentes con a, b módulo 7, respectivamente, y entonces calcular el resto de A+B al dividirlo por siete. ¡La respuesta debe ser la misma tal como dice 1)!. Claro, esto nos permite cambiar a y b por números mucho más sencillos. De la misma forma, las afirmaciones 1), 2) y 3) juntas nos dicen que podemos hacer el mismo tipo de simplificación en cualquier cuenta siempre que ésta incluya sólo sumas, restas y multiplicaciones, y siempre suponiendo que al final sólo nos interesa el resto de dividir el resultado por cierto número.
    Volviendo a la prueba del nueve, supongamos que para comprobar una división no tenemos ganas de multiplicar divisor (d) por cociente (c) porque son números grandes; ya que no vamos a comprobarla del todo, al menos podemos ver si d x c da el mismo resto al dividir por cierto número (pongamos M) que el dividendo (deberían, ya que esperamos que sean iguales). 3) nos dice que para hacer eso nos vale con usar números congruentes con d y c módulo M en lugar de los propios d y c. También podemos usar cualquier otro número congruente módulo M con el dividendo, ya que el resto es el mismo (es el significado de ser congruente módulo M).
    Entonces es cuando viene al pelo la curiosa propiedad de la que hablábamos antes:
Si sumamos las cifras de un número, y luego sumamos las cifras del resultado, y así sucesivamente, siempre obtenemos números congruentes con el primero módulo nueve.
    Ahora veremos por qué esto es cierto. Así que hacer la prueba anterior módulo nueve es especialmente fácil, porque calcular números bajos congruentes módulo nueve con un cierto número es muy fácil: sólo suma sus cifras. Ahora vemos que la prueba del nueve comprueba justamente esto: que divisor por cociente da el mismo resto por nueve que el dividendo. Claramente, esto no basta para que la división sea correcta (aunque si esto falla no puede serlo, como dijimos). Visto así queda patente que la prueba detecta divisiones incorrectas, digamos,"ocho veces de cada nueve", porque hay más o menos una posibilidad de nueve de que un resultado incorrecto tenga casualmente el mismo resto por nueve que el resultado correcto.
    ¿Por qué al sumar las cifras de un número se obtiene un número congruente módulo nueve con el primero? ¿Qué característica especial tiene el nueve?. Veamos la respuesta de Federico Zapata:
    Vamos por pasos. En el caso de las divisiones exactas se verifica que D=d·c (Dividendo=divisor x cociente). Basándonos en las propiedades de las congruencias podemos tomar congruencias módulo 9. Así D será congruente a d·c módulo 9. Ahora bien, sabemos que 10 es congruente con 1 módulo 9. Escribiendo cualquier número de la forma a + b·10 + c·100 + d·1.000 +... y tomando congruencias módulo 9 tenemos que todo número es congruente módulo nueve a la suma de sus cifras. Por tanto, la suma de las cifras de D será congruente al producto de las suma de las cifras de d por la suma de las cifras de c. Volvemos a tener otra congruencia de números, a la cual le aplicamos lo mismo. De esta forma seguimos hasta que nos queden números de una sola cifra que si son congruentes módulo 9 es porque son iguales, debido a que hemos de excluir el caso de que alguna de las sumas sea cero. Esto prueba la condición necesaria.
    En el caso que el resto no sea cero, la prueba vale sumando al producto de la suma de las cifras de c por la suma de las cifras de d la suma de las cifras del resto, lo cual se demuestra de forma similar.
    Lamentablemente la condición no es suficiente. Esto se debe a que si tenemos dos cocientes que son congruentes módulo 9 la congruencia se seguiría manteniendo y la condición se cumpliría. Se verá más claro con un ejemplo. El resultado de 585 entre 45 es 13 y resto cero. Si nos hubiera salido de cociente 22 (que es congruente con 13 módulo 9),
veamos que ocurre:
para el dividendo: 5+8+5 = 18; 1+8 = 9
para el divisor: 4+5 = 9
para el cociente falso: 2+2 = 4
Multiplicándolos tendríamos 9·4 =36
3+6 = 9, con lo cual la prueba da positivo estando mal la división.
    Espero que las explicaciones estén suficientemente claras.
    Esto es algo muy curioso. Lo que ocurre es que escribir un número como hacemos normalmente en base diez es ponerlo como se dice en la respuesta anterior; por ejemplo, si el número es de tres cifras, cba,
cba = a + b·10 + c·100
    Para calcular el resto por nueve de este número podemos calcular el resto por nueve de la expresión de la derecha sustituyendo si queremos cualquiera de los números por otro número congruente con él módulo nueve. ¡La propiedad especial que tiene el nueve es que... 10, 100, 1.000,... son congruentes con 1 módulo 9! Entonces, podemos sustituir 10, 100 por 1 en la expresión anterior y luego calcular el resto por nueve. ¡Pero eso no es más que sumar las cifras del número!

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