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jueves, 18 de agosto de 2011

Los Simpsons y El Teorema de Fernat

¿Se acuerda del capítulo en el cual Homero cae en la Tercera Dimensión? Es el episodio correspondiente al Halloween de 1995. Además de ser una fina burla a los estudios de animación 3D (Pixar, por ejemplo) y a sus productos, tiene algún detalle impresionante.


Homero camina por el mundo animado en 3D, mientras los objetos geométricos, fórmulas y ecuaciones se desplazan por el aire a su alrededor. Una de estas ecuaciones dice concretamente:

178212 + 184112 = 192212

Dicho así, puede parecer que los numeritos no significan nada. Sin embargo, en un foro de discusión dedicado a la serie, un televidente expresó: "¡Acaba de demostrar la falsedad del Teorema de Fernat!".


Nada menos.


Homero y una ¿excepción? al Teorema de Fermat

El abogado francés Pierre de Fermat fue, además, un notable matemático. De hecho, la moderna teoría de los números le corresponde exclusivamente a él, entre otros trascendentales logros matemáticos.

El hecho es que en 1637, Fermat compró una copia de la célebre "Aritmética" de Diofanto de Alejandría, traducida por el francés Bachet. El griego expresaba, con otras palabras, lo que hoy conocemos como "Último Teorema de Fermat", que va más o menos así:

Cuando n es un entero mayor que 2, no existen
enteros x, y y z distintos de cero tales que xn + yn = zn

Como siempre ocurre en matemática, saberlo o intuirlo es una cosa, pero probarlo es otra muy distinta. En tiempos de Fermat todos los matemáticos estaban de acuerdo con que la afirmación de Diofanto era correcta, salvo por el "pequeño detalle" de que nadie había conseguido elaborar una demostración general que probara que tales números no existen ni pueden existir. En otras palabras, no se había demostrado este "último teorema de Fermat".

Pero, sin embargo, al margen del libro de Diofanto se encuentra una anotación de puño y letra de Fermat que dice textualmente:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere

Lo cual, en buen cristiano, se traduce así:

"Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o, en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias iguales a ella."


Fermat, generador del embrollo

Como se ve, Fermat coincide con los demás en que el teorema propuesto por Diofanto no tiene solución... en apariencia. Porque a continuación, Fermat escribe:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

O sea:

"Pero he descubierto una maravillosa demostración para este problema. Lamentablemente, el margen es tan pequeño que no me permite escribirla aquí."

Y acá vino el problema. Fermat, entonces, estaba de acuerdo con todos los demás matemáticos, pero había encontrado una solución general. ¿De verdad? Es cierto que lo exiguo del margen no dejaba espacio para escribirla, pero, como el lector adivinará, en ninguna otra parte, en ninguno de los papeles de Fermat, en ninguno de sus libros se encuentra la tal, hipotética solución.

Y comenzó la carrera. Piénsese que estamos hablando de un problema que se conoce desde la más remota antigüedad, acerca del cual uno de los mayores matemáticos de la historia afirma en 1637 haber encontrado la solución. Todos quisieron encontrarla. Todos quisieron hacer lo mismo que Fermat.

Y por más de 350 años nadie lo consiguió.

Todos los demás teoremas propuestos por Fermat fueron demostrados, algunos por pruebas suministradas por el francés mismo, otros por pruebas desarrolladas más tarde, y algunos mediante contrapruebas que demostraban que el teorema propuesto era falso. Excepto este.

Se lo llama "Último de Fermat" no porque fuese el último que propuso, sino porque era el último que quedaba por demostrar. Y, por añadidura, se trata del problema matemático que mayor cantidad de pruebas erróneas ha generado, porque, como el postulado básico es tan simple y fácil de comprender, cualquiera se ha sentido capaz de probarlo o descartarlo a lo largo de la historia.

El asunto es interesantísimo porque, además, el Último de Fermat es uno de los pocos teoremas que no tienen utilidad conocida, esto es, que no sirven para ayudar a demostrar ningún otro teorema. Sin embargo, ha disparado tanta investigación en los fallidos intentos por probarlo, que ha ayudado a resolver otros profundos problemas matemáticos que no están en absoluto relacionados con él. En otras palabras, de algo ha servido.

Que no existiera una solución general no quiere decir que el teorema no pudiera probarse falso para casos particulares. Algunas de estas demostraciones tienen milenios, y son correctas. Para n=2, por ejemplo, el caso es muy claro. En homenaje a Diofanto, la ecuación que lo expresa se llama "Ecuación Diofántica":

a2 + b2 = c2

y está obviamente relacionada con el Teorema de Pitágoras. Ya los antiguos chinos, griegos, indios y babilonios habían demostrado esta certeza cuando la potencia en cuestión es 2. En la Antigüedad se demostró que ciertos casos como

32 + 42 = 52

o

52 + 122 = 132

eran muy fáciles de individualizar y probar. Pero insistimos: esto no es tan fácil cuando hablamos de un exponente mayor que 2.

Y así comenzaron a pasar los siglos, con lentos avances: Euler encontró la prueba para n=3, y, aunque su método contenía un grave error, fue la base para gran parte de la investigación posterior. El mismo Fermat descubrió la solución para cuando n=4. Dirichlet y Legendre lo resolvieron para n=5 utilizando una mejora al método de Euler.

Lamé encontró la solución para el siguiente primo (n=7) en 1839, pero su demostración era larga y trabajosa y no podía adaptarse ni generalizarse a los números mayores. Ocho años más tarde, Kummer probó que el teorema era verdadero para todos los primos regulares inferiores a 100, lo cual significa excepto 37, 59 y 67. No era poco, pero el esfuerzo de todos estos científicos no había logrado probar ni de lejos el caso general que proponía Fermat.

Hubo que esperar hasta 1995 para que el matemático inglés Andrew Wiles consiguiera, utilizando herramientas avanzadas de geometría algebraica, demostrarlo por fin para todos los exponentes superiores a 2. La solución de Wiles fue publicada en la revista "Anales de Matemática" y probó ser totalmente correcta e inatacable.

El Último Teorema de Fermat era correcto.

Con respecto al fallecido Pierre de Fermat...: ¿sería cierta su afirmación de que tenía una "maravillosa demostración" en 1637?

Piénsese solamente en esto: la demostración de Wiles ocupa unas 200 páginas mecanografiadas, y utiliza curvas elípticas, esquemas de grupos, el Álgebra de Hecks, la Teoría de Iwasawa, la Teoría de Von Neumann-Bernays-Gödel, la de Zermelo-Fraenkel y decenas de otras complejas herramientas matemáticas, todas desarrolladas muy recientemente (hablando en términos históricos).

Es bien cierto que los métodos utilizados por Wiles no existían cuando Fermat escribió su famosa nota al margen del libro, pero también es verdad que podría existir una demostración más corta, sencilla y que solamente echase mano de procedimientos conocidos en el siglo XVII. Podría existir, pero nadie la ha encontrado escrita ni publicada en ninguna parte.

También es posible que Fermat tuviera una solución errónea, pero que él de buena fe haya creído cierta.

Puede, podría, tal vez...

La realidad es que, hasta donde sabemos, ni Fermat ni nadie pudo probar la verdad de su Último Teorema, hasta el feliz día de 1995 en que Wiles hizo pública su complicada demostración. El Teorema de Fermat es cierto, y ya sabemos cómo y por qué.

Lo cual nos lleva de nuevo al episodio de "Los Simpson" puesto al aire poco después de la publicación del sabio inglés. Si la demostración prueba que existen tres números que elevados a la 12 producen

178212 + 184112 = 192212

como se ve en el episodio, entonces el postulado de Fermat y la demostración de Wiles son incorrectos, al menos en el sentido de que no son generales, sino que existe la "Excepción de Simpson" (si es que podemos llamarla así).

¿Pueden Matt Groening y los guionistas y productores de un dibujo animado haber encontrado una excepción que invalide el postulado de Fermat y la demostración de Wiles? ¿Existe entonces la igualdad de arriba, que prueba que el Último Teorema es falso? Suspenso...

La respuesta, previsiblemente, es no (Homero hubiese exclamado: "¡D´oh!". Si uno observa la ecuación con cuidado, verá que, si prescindimos de los exponentes, dice textualmente:

1782 + 1841 = 1922

Ya empezamos con los problemas: si todos los términos están elevados a una misma potencia (en este caso a la 1), la ecuación es errónea, porque la suma de un número par y uno impar siempre da como resultado un número impar. No es el caso de 1922, que es par y, por lo tanto, una imposibilidad matemática.

Pero...



Si uno ingresa en una calculadora científica 1782, lo eleva a la 12ª potencia, y lo suma a 1841 elevado también a la duodécima potencia, verá que el resultado es... ¡1922 elevado a la duodécima potencia!

¿Cómo es? ¿Qué está pasando? ¿Por qué la calculadora nos da un error?

Analicemos fríamente este problema. Hagamos las cuentas.

El término de la izquierda, una vez resueltas las dos potencias y sumado todo, da exactamente

2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657

Si despejamos el de la derecha, o sea, elevamos 1922 a la 12ª potencia, tendremos

2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616

, lo cual no es en absoluto lo mismo. La igualdad no es tal y el Último Teorema es cierto, por más que todas las calculadoras del mundo intenten convencernos de los contrario.

La solución es que las calculadoras se embrollan con el redondeo de los exponentes, y aproximan de la manera que a ellas les parece. La verdadera "Ecuación de Simpson" (nótese que ya no escribimos "Excepción" es algo parecido a esto:

178212 + 184112 = 192212,algo

Así nomás. Sin atenuantes. 178212 + 184112 no da exactamente 192212, sino "a la 12 y un poquito".

Para terminar, un punto a favor para el innegable perfeccionismo de los guionistas de "Los Simpson", inteligentes y trabajadores a un grado extremo.


En el sitio del departamento de matemática la Universidad Estatal de los Apalaches hay un programa para buscar números que «le erran por poco a Fermat» (Fermat near-miss). El programa, escrito en lenguaje C, prueba distintas combinaciones de x, y, z y n buscando las que satisfacen (o casi) la ecuación xn + yn = zn, donde x, y, z y n son números enteros y n es mayor que 2. Es decir, el programa busca contraejemplos al Último Teorema de Fermat.
Aunque el teorema de Fermat fue demostrado por Andrew Wiles entre 1993 y 1995, el programa encuentra números que satisfacen la ecuación xn + yn = zn con un error tan pequeño como se quiera. Por ejemplo 178212 + 184112 es casi igual a 192212. La diferencia aparece recién en la décima cifra significativa. Haciendo la cuenta en una calculadora común, estos números parecen contradecir el teorema.
Notablemente, el autor del programa es David S. Cohen, el mismo que aparece como David X. Cohen en los créditos de Futurama y que también fue guionista de Los Simpsons. Y, no por casualidad, la ecuación 178212 + 184112 = 192212 puede verse en uno de los cuadros del Especial de Noche de Brujas VI, aquél en que Homero se interna en la tercera dimensión. (No en la cuarta; en la tercera. Después de todo, él es un dibujo de dos dimensiones).

Cohen tiene un título en física en la Universidad de Harvard y un master en ciencias de la computación en la de Berkeley. Otros integrantes del staff Simpsons-Futurama tienen formación científica. Como Jeff Westbrook, doctor en computación en Princeton o Ken Keeler, doctor en matemática aplicada en Harvard. A ellos les debemos las muchas alusiones a temas científicos en ambas series: al efecto Coriolis (Bart contra Australia), a las leyes de la termodinámica (Huelga de maestros), al principio de incertidumbre de Heisemberg (La suerte de los Fry) y otras más sutiles.
Por ejemplo, en el especial de navidad de 1999 de Futurama nos enteramos de que el robot Bender es el hijo número 1729 de su madre (¿los robots tienen madres?). La elección de este número no es casual. En 1918 el matemático inglés Hardy fue a visitar a su colega indio Ramanujan. Hardy comentó que había tomado el taxi número 1729. «Un número bastante aburrido», agregó. «Por el contrario», contestó Ramanujan. «Es el menor número que puede expresarse como suma de dos cubos, de dos maneras distintas». Efectivamente 1729 = 10³ + 9³ = 1³ + 12³. No se sabe si Ramanujan conocía el resultado de antemano, si lo calculó en el momento, o si lo percibió «como una iluminación», como él mismo solía decir.
Una vez le preguntaron a Ken Keeler si valía la pena obtener un doctorado para terminar escribiendo un dibujo animado. Keeler dijo que la oportunidad de hacer un chiste con el 1729 en Futurama justifica seis años de estudios universitarios. Totalmente de acuerdo



Cuando la radio le regala un elefante a Bart y éstos se escapan flanders exclama: "los cuatro elefantes del apocalipsis" mientras su mujer le corrije diciéndole "los cuatro jinetes". Este chiste pierde al ser traducido, en inglés los cuatro jinetes se les llama "los cuatro fantasmas" (The four phantom) que es una palabra que se asemeja a elefante (elephant).

Los seguidores de la serie, como el propio productor David Silverman, están de acuerdo en que Waylon Smithers es homosexual, o al menos bisexual.

Hay discrepancias sobre la edad de Homer, aunque las cifras barajadas son muy similares: 35, 36 (la más aceptada) o 38 años.

La edad del señor Burns es sin duda de «más de cien años». En el episodio «Who Shot Mr. Burns?» («¿Quién disparó al señor Burns?») la cifra que se da es de 104 años, mientras que en «Simpson and Delilah» («Simpson y Dalila») son 81.

En un episodio, a Lisa le cambian a Tercer Grado y a Bart le degradan a Tercero también.

«Los Simpson» han recibido decenas de nominaciones a los premios Emmy, además de otros premios incluyendo seis premios Annie consecutivos y el premio Peabody en 1997.

En el episodio de la temporada 16 Homer-Móvil (Mobile Homer), Lisa encuentra un mapa de Los Picapiedra en el que hay una anotación sobre Dino, y concluye Homer "Preguntarle a Jeeves"; en la versión doblada para España, sustituyen esa frase por otra que dice: «consultarlo en Wikipedia».

Los dos amigos de Homer se llaman Carl y Lenni, quienes guardan cierta similitud con Karl Marx y Vladimir Lenin.

El pelo de la nuca de Homer y la oreja, forman dos letras, una M y una G, que son las iniciales de Matt Groening.

La dirección de los Simpson varía entre episodios, aunque la más habitual es Evergreen Terrace, 742, inspirada en la calle donde Matt Groening vivió de pequeño. Básicamente la dirección se mantiene constante o con pequeñas variaciones (en el número de la calle principalmente), excepto en el episodio «Kamp Krusty“, donde la dirección de los Simpson es Spalding Way, 430, Springfield, presumiblemente en honor al monologuista y actor Spalding Gray cuyo humor también se considera sutil, agudo y en general irritante para los republicanos.

El número de teléfono de los Simpson también puede variar entre episodios. Según la agenda del director Skinner, de la Escuela Primaria de Springfield, los teléfonos de Homer han sido: 555–6528 (casa) y 555–7334 (trabajo); 555–6832 (casa) y 555–6754 (trabajo). En la Tercera temporada era el 555–8707 y en el episodio de debut televisivo «Mr. Plow» fue el 555–3223 en casa y 555–3226 en el trabajo.

Springfield es un lugar ficticio. Matt Groening afirma que utilizó este nombre porque es uno de los nombres de ciudad más vulgares y porque Springfield era la ciudad más próxima a Portland, Oregón, donde Matt vivió de pequeño.

En el episodio donde le hacen una auditoría a Homer le llaman Homer Jimeno, se entiende que la J en su nombre es de Jimeno, pero después cuando va a averiguar de que es la J en su nombre descubre que la J es de Jay.

El color de la piel de los personajes es siempre: RGB 255 / 217 / 15

En la VidaReal™ Homer y Margaret (Marge) son los nombres de los padres de Matt. Los hijos de Matt son Homer y Abe. Sus hermanos, por orden de nacimiento, son Mark, Patty (a quien sigue Matt), Lisa y Maggie, diminutivo cariñoso de Margaret.

El nombre de Bart es un juego de palabras de «brat» (mocoso), aunque más de una vez Matt ha dicho que el personaje está fuertemente inspirado en él mismo (Matt) y su hermano (Mark).

El apellido Simpson significa literalmente «Hijo de un simplón/inocentón”

En la película The Day of the Locust el protagonista (interpretado por Donald Sutherland) se llama Homer Simpson, y aparte del nombre ambos personajes comparten cierto parecido. No se sabe con certeza si existe alguna conexión entre la película (estrenada en 1975) y la serie, si es pura coincidencia o si simplemente Matt aprovechó esa coincidencia.

El apellido de soltera de la madre de Matt es Wiggum, nombre del jefe de policía de Springfield, mientras que el resto de los personajes secundarios toman sus nombres de calles de Portland.

Según el permiso de conducir de Homer, C40403243, mide 1,76, pesa 108 kilos, tiene ojos azules, es calvo y nació el 12 de mayo de 1956.

El amigo de Bart recibe el nombre del ex–presindete Richard Milhous Nixon, aunque su nombre completo es Milhouse Van Houten y sus padres Kirk y Luann Van Houten, los cuales se divorcian durante la octava temporada, en el episodio «A Milhouse Divided» («Milhouse dividido»).

La canción que suena en el episodio «Lisa's sax» («El saxo de Lisa») es «Baker Street» de Gerry Rafferty. Puede encontrarse en su álbum «Right Down The Line. The Best of Gerry Rafferty“.

La producción de cada temporada se inicia en diciembre, cuando los guionistas desarrollan unas 16 ideas que se plasman en más o menos 12 guiones. La Primera temporada cada episodio constaba de unos 12.000 dibujos. Los episodios más recientes pueden llegar a necesitar hasta 24.000.

El primer capítulo de noche de brujas no se realizó hasta la segunda temporada.

En muchos de los episodios de las primeras temporadas se puede ver que a veces Lisa tiene el color normal de su collar y en otras partes su color cambia por el color del collar de Marge. A veces a Marge le sucede lo mismo con el collar de Lisa.

Según el director y productor de la serie David Silverman, Springfield se encuentra en el estado de North Takoma, a unos 15 kilómetros de Toon Town. En el episodio «Mr. Lisa Goes to Washington» la dirección de los Simpson es Evergreen Terrace, 59, Springfield, TA, donde TA seguramente se refiere a Takoma, mientras que en el episodio «Duffless» la matrícula del coche de Homer muestra las siglas NT, que podrían referirse a North Takoma.

Por lo visto Matt Groening dijo de Springfield que «es básicamente cualquier ciudad de EE.UU.», aunque comparte características con la ciudad de Oregón, donde Matt creció.

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