La Leyenda del Juego del Ajedrez : Series Exponenciales

La leyenda del Ajedrez.

Circulan muchas leyendas acerca de su origen y diferentes países se atribuyen su invención. Hoy se cree que el ajedrez constituye una evolución del juego de mesa llamado shatranj, que proviene, a su vez, del chaturanga, ideado en la India en el siglo VI. [Ver Evolución del Ajedrez].

Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de su verdadero origen, existe una leyenda muy entretenida.

Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un jóven llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan encantado con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la primer casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa:

¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!

De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una variación de la historia sugiere que el Rey furioso por ésta situación mandó a decapitar al joven inventor, pero hay quienes evitan contar éste final infelíz y se contentan con explicar los elementos matemáticos que están presentes en el relato.

Solución:

Veamos comos se realiza la cuenta del pedido de Sissa.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ... + ...

El último sumando es siempre el doble que el número anterior.
Esto se puede expresar como una suma de potencias de base 2:

1 + 2 + 2^2 + 2^4 + 2^3 + ... + 2^62 + 2^64

Donde 2^x "significa 2 elevado a la x"

Al realizar ésta cuenta, el resultado es una gran cantidad de granos:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

Si; más de 18 billones de granos de trigos.

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