El juego de la Adivina

Descripción del juego:

El juego de la adivina o maga, consiste básicamente en un tablero con casilleros enumerados del 0 al 99. A cada número le corresponde una figura distinta. Al presentarse el juego, se le pedirá al jugador que piense un número de dos cifras y posteriormente le reste la suma de los dos dígitos pensados. Así; Si el jugador pensó el número 81 deberá realizar mentalmente la cuenta : 81 - ( 8+1) = 72. Se le pedirá al jugador que busque en el tablero el símbolo asociado a dicho número y para sorpresa de todos los presentes, el símbolo será "adivinado" como por arte de magia. De hecho, cualquiera que desconozca de los elementos matemáticos empleados en éste juego, creerá efectivamente que se trata de magia o algún tipo de energía desconocida que actúa sobre el jugador induciéndolo a pensar un número determinado. Afortunadamente, podemos explicar el juego con una breve demostración matemática que se expondrá a continuación.

Vista previa del juego:

Hipótesis:

Si observamos la segunda diagonal del tablero veremos que está formada por todos los múltiplos de 9. (9, 18, 27, ... 90); Además, en todos los casilleros de ésta diagonal, con excepción del 90, aparece dibujado el mismo símbolo. Incluso, cada vez que repetimos el juego, éstos símbolos cambian por otro distinto, pero siempre, iguales entre si en ésta diagonal. No es casualidad, entonces, que el símbolo adivinado posteriormente pertenezca a ésta diagonal. Intuitivamente, podríamos estar postulando que el símbolo adivinado siempre acompaña a un múltiplo de 9.

Pero vayamos a la demostración del problema. ¿Como es posible que se prediga el resultado del símbolo de forma arbitraria? Esto es posible, gracias a la "magia" de los números.

Todo número de dos dígitos puede expresarse de la siguiente manera: a X 10 + b X 1 con a y b pertenecientes a la familia de los enteros. Así; el 45 se puede escribir matemáticamente como: 4 X 10 + 5 X 1

Ahora bien; Considerando el postulado anterior, podríamos probar que el número que elegimos al azar menos la suma de sus dígitos es siempre un múltiplo de nueve y con ésto demostraríamos que el juego es solo un artilugio matemático y no un hecho inexplicable.

Demostración:

Utilizando la notación descripta en el párrafo anterior y siguiendo el enunciado del problema, escribimos la cuenta de la siguiente manera:

Número elegido menos la suma de sus dígitos: a X 10 + b X 1 - (a+b)

Restaría probar que ésta expresión es siempre un múltiplo de nueve; Es decir es de la forma 9 X p con p perteneciente a los enteros. Trabajando entonces sobre la primera expresión obtendremos:

a X 10 + b X 1 - (a+b) = 10 a + b - a - b = 10 a - a = 9 a = 9 X a

Y como a y p son ambos enteros, deducimos que la expresión es siempre un múltiplo de 9 y además encontramos otra curiosa relación: que siempre "a" es igual a "p".

Pero... ¿Que significa éste último descubrimiento? Que para cualquier número que elijamos de dos cifras, se cumplirá que : El primer dígito de éste número multiplicado por 9 nos dará el número del casillero resultante al igual que si realizaramos la resta. (Este resultado es muy sencillo de demostrar pero se dajará la demostración para otro momento).

Enlace para descargar el juego de la Adivina

(El archivo es un programa realizado en Power Point) Bajar el archivo, ejecutar y a jugar!