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sábado, 30 de julio de 2011

Puzzles matematicos : El capricho de la dama

Este puzzle fue propuesto a los principales joyeros y orfebres de Nueva York, quienes dijeron que no emplearían a ningún vendedor que no pudiera razonar una transacción tan simple. Pero sin embargo, ninguno de ellos consiguió dar con la respuesta correcta.

El problema, propuesto a los principales joyeros y orfebres de Nueva York por el matemático recreativo, autor de rompecabezas, compositor de ajedrez y jugador: Sam Loyd. Se basa en una simple transacción comercial muy cotidiana, y Loyd lo hizo con la intención de demostrar hasta qué punto se equivocan las personas cuando se trata de hacer actividades que precisan un mínimo de habilidad o conocimiento de las matemáticas.

Todos los joyeros y orfebres neoyorkinos a los que Loyd ofreció este problema, afirmaron que ninguno de ellos emplearía a nadie que no supiera resolverlo ¿lo curioso? que ninguno de ellos dio con la respuesta correcta.

Y tras la introducción, allí va: The Necklage Puzzle (El acertijo del collar):

Una dama compró doce trozos de cadena, tal como se muestra rodeando a la ilustración, y quiso hacerse montar un collar cerrado de 100 eslabones. El joyero dijo que costaría 15 centavos cortar y unir un eslabón pequeño y 20 centavos cortar y unir un eslabón grande. La cuestión consiste en decir cuánto debe pagar la dama para que se le haga el collar. Eso es todo, y es un bonito problema para los jóvenes.

*SOLUCIÓN*


Bueno, bueno. Como anunciábamos en Twitter “habéis caído como moscas”. Prácticamente la gran mayoría de vosotros habéis contestado $1,80, pero a pesar de que es el primer resultado más lógico, aún hay un precio más económico para el collar: $1,70. Veamos la explicación:

Al intentar responder este enigma puede afirmarse que cualquier joyero, así como el 99% de los matemáticos, dirían que la mejor opción sería abrir los doce eslabones pequeños al final de nueve de las doce piezas, hecho que reduciría el costo a $1,80. Hasta ahí bien. Pero…

La respuesta correcta, sin embargo, es abrir los diez eslabones de los dos trozos de cinco eslabones, situados en los laterales izquierdo y derecho, que tienen tres eslabones pequeños y dos grandes cada uno. Abrir y engarzar esos eslabones para hacer un collar cerrado costaría $1,70, que es la solución más barata posible.

Ahora veamos la detallada explicación que nos envía Bibiano Parra:

Para plantearse la solución en principio hay que considerar una cosa, y es cuantas uniones necesito para los 12 tramos que tengo, si las colocamos una detrás de otra, veremos que entre 12 tramos hay 11 huecos, y que haría falta una doceava unión para cerrar la cadena.


Si fuesen 11 tramos, necesitaría 11 uniones y así sucesivamente...


Por tanto necesito tantas uniones como tramos tenga.

Por lo que la solución pasa por abrir todos los eslabones de uno o varios tramos, o bien abrir los extremos de los 12 tramos.

Posible solución 1: No romper ningún tramo y abrir 12 extremos de los 12 tramos. En este caso como existe la posibilidad de abrir 12 de los eslabones pequeños, el presupuesto asciende a 12*15=180 centavos, o 1 dólar con 20 centavos.

Posible solución 2: Abrir una de los tramos, aquí existen varias posibilidades, ya que todas los tramos no son iguales, hay 4 tipos de tramos, pero necesitaría un mínimo de 11 eslabones ya que serian 11 tramos.

1 pieza oOoOoOoOoOoOoOo Esta pieza no interesa abrirla ya que son 15 eslabones y tendría que unir 11 tramos y además cerrar eslabones y ascendería a 7*20+8*15=260 centavos.

6 piezas oOoOoOoOoO Esta pieza tiene 10 eslabones por lo que aun necesitaria abrir un eslabon más de los pequeños, resultando 5*20+5*15+1*15=190 que sigue siendo más cara que la solucion 1.

3 piezas OoOoO Esta pieza tiene 5 eslabones por lo que aun se tendrían que abrir otros 6 eslabones pequeños, resultando 3*20+2*15+6*15=180 esta solución es tan válida como la primera.

2 piezas oOoOo Esta pieza tiene 5 eslabones por lo que aun se tendrían que abrir otros 6 eslabones pequeños, resultando 2*20+3*15+6*15= 175 esta solución de momento es la más barata.


Posible solución 3: Abrir dos tramos, con lo que nos quedarían 10 tramos por unir, y sería conveniente que rompiese solo 10 eslabones y nunca más de los 12 de la primera solución, por lo que surgen varias posibilidades.


Abrir 2 piezas oOoOo, con estas tendríamos 10 eslabones y podríamos cerrar la cadena con un precio 2*(2*20+3*15)=170 centavos, el más barato hasta el momento.

Abrir 2 piezas OoOoO ocurre como en el caso anterior, pero ahora la proporción de grandes/pequeñas es mayor 2*(3*20+2*15)=180 centavos más cara que la anterior.

Abrir una pieza oOoOo y otra OoOoO ocurre un caso intermedio.

(2*20+3*15)+(3*20+2*15)=175 centavos, no es la más barata

No hay más combinaciones abriendo 2 tramos y que sumen menos de 12 eslabones

Posibles soluciones: Podría pensarse que ocurriría en otras combinaciones de aperturas, pero siempre sumarían más de 12 eslabones por lo que serían más caras que la opción 1.

Resumiendo la opción más barata es abrir las dos piezas oOoOo y utilizar estos eslabones para unir los otros 10 tramos restantes, con un precio de 170 centavos, o 1 dólar y 70 centavos, que es más barata que la solución primaria que suele ocurrirse de 180 centavos.

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